2008　横浜国立大学　後期MathJax

【１】　$xy$平面上に曲線$C_1:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$がある．$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2)$に対して$y$軸上に点$\mathrm{Q}(0,{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2+1)$をとる．$\mathrm{P}$に関して$\mathrm{Q}$と対称な点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くときの$\mathrm{R}$の軌跡を$C_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$C_2$を表す方程式を求めよ．

(2)　$t>0$とする．$C_1\text{，}{C}_2\text{，}y$軸，および線分$\mathrm{PR}$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　実数$a\text{，}t$に対し，方程式

$x^2+y^2+2tx-4ax+2ty+4|a-3|+28=0$(＊)

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$t$がどのような実数であっても方程式(＊)が円を表すような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$a=6$とする．このとき，方程式(＊)は$t$がどのような実数であっても円を表す．$t$がすべての実数を動くとき，方程式(＊)によって表される円の周が通過する領域を$D$とする．$xy$平面を全体集合とするとき，$D$の補集合を図示せよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$と書かれたカードが$1$枚，$\mathrm{B}$と書かれたカードが$1$枚，それ以外は白紙であるような合計$n$枚のカードがある．ただし$n\geqq 3$とする．$n$枚のカードから無作為に$1$枚のカードを選び，また元に戻すという操作を$2$回行う．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のか−ドが選ばれる回数をそれぞれ$a\text{，}b$とする．このとき，$a>b$となる確率が${\displaystyle \frac{1}{4}}$以上であるような$n$の範囲を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$と書かれたか−ドが$1$枚，$\mathrm{B}$と書かれたか−ドが$1$枚，$\mathrm{C}$と書かれたカードが$1$枚，それ以外は白紙であるような合計$n$枚のカードがある．ただし$n\geqq 4$とする．$n$枚のカードから無作為に$1$枚のカードを選び，また元に戻すという操作を$3$回行う．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のカードが選ばれる回数をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．このとき$a>b$かつ$a>c$となる確率を$n$の式で表せ．

(3)　$4\leqq n\leqq 11$ならば(2)で求めた確率が${\displaystyle \frac{1}{6}}$以上であることを示せ．

【４】　$|x^2-5y^2|=4$をみたす正の整数$x\text{，}y$の組$(x,y)$の集合を$\mathrm{S}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{S}$の要素$(x,y)$で$x\leqq 4$をみたすものをすべて求めよ．

(2)　$(x,y)$が$\mathrm{S}$の要素のとき，$x\text{，}y$はともに偶数，またはともに奇数であることを示せ．

(3)　$(x,y)$が$\mathrm{S}$の要素のとき，$x>1$ならば$x<5y<3x$が成り立つことを示せ．

(4)　$x>1$をみたす$\mathrm{S}$の要素$(x,y)$に対して，$(x^{\prime },y^{\prime })={\displaystyle (\frac{-x+5y}{2},\frac{x-y}{2})}$とおく．$(x^{\prime },y^{\prime })$は$\mathrm{S}$の要素であり，$x^{\prime }<x$をみたすことを示せ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$xy$平面上で連立方程式$x\geqq 1\text{，}y\geqq 1\text{，}x+y\leqq 3$の表す領域を$D$とする．直線$y=mx+n$が$D$と共有点を持つような$mn$平面上の点$(m,n)$の範囲を図示せよ．

(2)　実数$a\text{，}b$が$a\geqq 1\text{，}b\geqq 1\text{，}$かつ$a+b\leqq 3$をみたしながら動くとき，$xy$平面上の放物線$y=a{x}^2+bx$が通過する領域を図示せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分

${\displaystyle \int }{e}^{-x}\sin 2xdx$

を求めよ．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^{-x}|\sin 2x|dx$

を求めよ．

【２】　$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円$C_1$と点$\mathrm{A}(3,0)$がある．$\mathrm{A}$を通り$C_1$に内接する円$C_2$を考える．点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AP}$が$C_2$の直径になるようにとる．$C_2$の中心を$\mathrm{M}\text{，}{C}_1$と$C_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{Q}$の座標を$(5\cos \theta ,5\sin \theta )$とするとき，$\mathrm{M}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$C_2$が$\mathrm{A}$を通り$C_1$に内接しながら動くとき，$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【３】　$xy$平面上に円$C:x^2+y^2=1$と点$\mathrm{A}(2,0)$がある．$C$上に点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{Q}(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$をとり，$f(\theta )={\mathrm{AP}}^2\cdot \mathrm{AQ}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$f(\theta )$を$\theta$で表せ．

(2)　$\theta$が${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{3\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$f\left(\theta \right)$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$xy$平面上に曲線$C:y={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\text{（}x>0$）がある．$C$上の点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}})$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{P}$における$C$の法線と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$▵\mathrm{PQR}$の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の$x$座標を$t$で表せ．

(2)　$\mathrm{P}$における$C$の接線の傾きを$m$とする．$S$を$m$で表せ．

(3)　$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$S$の最小値を求めよ．