2008　新潟大学　前期MathJax

【１】　$a$を$\mathrm{-1}<a<1$である実数とする．関数$f(x)=2x^2-2(a+1)x-2a$について，次の問いに答えよ．

(1)　放物線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線が点$(2,\mathrm{-4})$を通るとき，$a$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$a$の値に対して，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である実数とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(\cos \theta ,0)\text{，}\mathrm{B}(0,\sin \theta )$をとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$の長さの和の最大値とそのときの$\theta$を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積の最大値とそのときの$\theta$を求めよ．

【３】　長方形$\mathrm{ABCD}$に対して，それぞれの辺の長さを

$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=1\text{，}\mathrm{BC}=\mathrm{DA}=t\text{，}0<t<1$

とする．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$および辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Q}$を，点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{P}$が$2$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線に関して対称になるようにとる．

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x\overrightarrow{a}\text{（}0<x<1\text{），}\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=y\overrightarrow{b}\text{（}0<y<1$）

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{DP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}x\text{，}y$で表せ．

(2)　$x\text{，}y$を$t$で表せ．

(3)　$x={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，$t$および$y$を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}3y+2y>0\\ xy>0\end{array}$

の表す領域を座標平面上に図示せよ．

(2)　不等式

$2{\log }_2(3x+2y)>5+{\log }_{2}xy$

の表す領域を座標平面上に図示せよ．

【２】　$A$は$A\ne E\text{，}A\ne O$かつ$A^2=A$をみたす$2$次正方行列とする．ただし，

$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　実数$t$に対して，積$(A-tE)\{A-(1-t)E\}$および$\{A-(1-t)E\}(A-tE)$を求めよ．

(2)　行列$A$および$A-E$はともに逆行列をもたないことを示せ．

(3)　$A-tE$が逆行列をもつための$t$に対する必要十分条件を求めよ．また，$t$がその必要十分条件をみたすとき，逆行列${(A-tE)}^{\mathrm{-1}}$を求めよ．

【３】　定数$c>0$に対して，楕円

${\displaystyle \frac{1+c}{c}}{x}^2+(1+c)y^2=1$

を$E_c$で表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　楕円$E_c$は直線$x+y=1$に接することを示し，接点の座標を求めよ．

(2)　正の実数$a\text{，}b$に対して，楕円$a{x}^2+b{y}^2=1$が直線$x+y=1$に接するとき，$a$と$b$の関係式を求め，$ab$平面にそのグラフをかけ．またこのとき，楕円$a{x}^2+b{y}^2=1$は楕円$E_c$の形に表せることを示せ．

【４】　座標平面上で，不等式$y\leqq -a{x}^2+b$の表す領域を$A$とし，不等式$x^2+y^2\leqq 1$の表す領域を$B$とする．ただし，$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$かつ$b>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　放物線$y=-a{x}^2+b$と$x$軸と囲まれた図形の面積$S$を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$B$が$A$に含まれるための必要十分条件は，$b\geqq {\displaystyle \frac{1+4a^2}{4a}}$であることを示せ．

(3)　$B$が$A$に含まれるとき，(1)で求めた面積$S$が最小となる$a\text{，}b$およびそのときの$S$を求めよ．

【５】　$n$を$n\geqq 2$である自然数とする．関数

$f_n(x)=x^n\log x\text{，}x>0$

について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．必要ならば，$x$を右側から$0$に近づけたときの極限値について

$\underset{x\to +0}{\lim }{x}^k\log x=0$

がすべての自然数$k\geqq 1$に対して成り立つことを利用してもよい．

(1)　$\underset{x\to +0}{\lim }{f_n}^{\prime }(x)=0$を示せ．

(2)　関数$y=f_n(x)$の増減，グラフの凹凸を調べ，グラフをかけ．

(3)　極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{\displaystyle {\int }_{e^{-{\displaystyle \frac{1}{n}}}}^1}{f}_n(x)dx$

を求めよ．