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2008-10361-0101
2008 金沢大学 前期 人間社会学域
易□ 並□ 難□
【1】 実数 a に対して,関数 f⁡ (x) ,g⁡ (x) を
f⁡(x )=−( a−1) ⁢x−1 ,g ⁡(x) =2⁢x +a 3
とし, m⁡( a)= ∫01 ⁡f⁡ (x)⁢ g⁡(x )⁢d ⁢x とする.次の問いに答えよ.
(1) m⁡(a )>0 を満たす a の値の範囲を求めよ.
(2) (1)で求めた a の値の範囲において,関数 h⁡ (x)= g⁡(x )−m ⁡(a) ⁢f⁡( x) を考える.このとき, ∫01 ⁡f ⁡(x) ⁢h⁡( x)⁢ d⁢x= 0 となる a の値を求めよ.
2008-10361-0102
【2】 xyz 空間において,原点 O を中心とする半径 1 の球面 S :x2 +y2 +z2 =1 , および S 上の点 A (0, 0,1 ) を考える. S 上の A と異なる点 P ( x0, y0, z0 ) に対して, 2 点 A , P を通る直線と xy 平面の交点を Q とする.次の問いに答えよ.
(1) AQ→ =t⁢ AP→ ( t は実数)とおくとき, OQ → を t , OP→ , OA → を用いて表せ.
(2) OQ→ の成分表示を x 0 ,y 0 ,z 0 を用いて表せ.
(3) 球面 S と平面 y= 1 2 の共通部分が表す図形を C とする.点 P が C 上を動くとき, xy 平面上における点 Q の軌跡を求めよ.
2008-10361-0103
【3】 0≦θ ≦π の範囲で定義された関数
f⁡(θ )=a⁢ sin⁡θ⁢ cos⁡θ+ b⁢(sin ⁡θ− cos⁡θ )−1
を考える.ただし, a ,b は正の実数とする.次の問いに答えよ.
(1) t=sin⁡ θ−cos ⁡θ として, f⁡(x ) を a , b ,t を用いて表せ.また, t のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) 等式 f⁡ (x)= 0 を満たす θ が存在するような点 (a, b) 全体からなる領域を座標平面上に図示せよ.