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2008 金沢大学 前期 人間社会学域

易□ 並□ 難□

【1】 実数 a に対して,関数 f (x) g (x)

f(x )=( a1) x1 g (x) =2x +a 3

とし, m( a)= 01 f (x) g(x )d x とする.次の問いに答えよ.

(1)  m(a )>0 を満たす a の値の範囲を求めよ.

(2) (1)で求めた a の値の範囲において,関数 h (x)= g(x )m (a) f( x) を考える.このとき, 01 f (x) h( x) dx= 0 となる a の値を求めよ.

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【2】  xyz 空間において,原点 O を中心とする半径 1 の球面 S :x2 +y2 +z2 =1 および S 上の点 A (0, 0,1 ) を考える. S 上の A と異なる点 P ( x0, y0, z0 ) に対して, 2 A P を通る直線と xy 平面の交点を Q とする.次の問いに答えよ.

(1)  AQ =t AP t は実数)とおくとき, OQ t OP OA を用いて表せ.

(2)  OQ の成分表示を x 0 y 0 z 0 を用いて表せ.

(3) 球面 S と平面 y= 1 2 の共通部分が表す図形を C とする.点 P C 上を動くとき, xy 平面上における点 Q の軌跡を求めよ.

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【3】  0θ π の範囲で定義された関数

f(θ )=a sinθ cosθ+ b(sin θ cosθ )1

を考える.ただし, a b は正の実数とする.次の問いに答えよ.

(1)  t=sin θcos θ として, f(x ) a b t を用いて表せ.また, t のとりうる値の範囲を求めよ.

(2) 等式 f (x)= 0 を満たす θ が存在するような点 (a, b) 全体からなる領域を座標平面上に図示せよ.

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