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2008-10421-0501
2008 信州大学 後期 理学部数IIIC
数理・自然情報学科は必須
物理科,化,地質科学科は選択
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 定積分 ∫01 ⁡x⁢ e− x⁢d ⁢x を求めよ.
2008-10421-0502
(2) 極限値 lim x→0 ⁡ (1 −cos⁡x )⁢ (1− cos2⁡ 2⁢x) x⁢ sin3⁡ x を求めよ.
2008-10421-0503
2008 信州大学 後期 理学部数IIIC,医学部医学科
理(数理・自然情報学科),医(医学科)学部は必須
理学部(物理科,化,地質科学科)は選択
【2】 次の問いに答えよ.ただし,対数は自然対数とする.
(1) f⁡(x )=log⁡ x−x + 1x とおく. 0<x≦ 1 のとき, f⁡(x )≧0 であることを示せ.
(2) (1)を用いて lim x→+ 0⁡ x⁢log⁡ x=0 であることを示せ.
(3) 関数 y= x⁢log⁡ x のグラフをかけ.
(4) a を 0< a<1 をみたす定数とする.
xy 平面上で不等式 a≦ x≦1 ,x⁢ log⁡x≦ y≦0 を同時にみたす領域の面積を S⁡ (a) とおく. lima →+0 ⁡S⁡ (a) を求めよ.
2008-10421-0504
【3】 −π≦a ≦π ,−π ≦b≦π とし, A=( cos⁡a −sin⁡ asin ⁡acos ⁡a ), B=( cos⁡b sin⁡b sin⁡ b−cos ⁡b ) とおく.
(1) A ,B の逆行列 A−1 ,B −1 をそれぞれ求めよ.
(2) 行列 A+ B は逆行列をもたないことを示せ.
(3) A−1⁢ B−1⁢ A⁢B= (0 −1 10 ) となるための a と b の条件を求めよ.
2008-10421-0505
2008 信州大学 後期 医学部医学科
【1】 曲線 y= ex− 1( x≧0 )を y 軸のまわりに 1 回転してできる容器がある.長さの単位は cm とし,この容器に毎秒 a cm 3 の割合で水を注ぐ.
(1) 水面の高さが ( ec− 1) cm に達するのに要する時間を a , c を用いて表せ.
(2) 水面の高さが b cm に達したときの水面の上昇する速さ,および水面の面積が増加する速さを a , b を用いて表せ.
2008-10421-0506
【3】(1) a>0 とする.すべての実数 t に対して
a⁢t2 −2⁢ b⁢t+ c≧0
が成立するとき, a ,b , c のみたす条件を求めよ.
(2) f⁡(x ) を閉区間 [0 ,1] で定義された連続関数とし,行列 A を
A=( ∫0 1⁡e 2⁢x ⁢d⁢ x∫ 01⁡ ex⁢ f⁡(x )⁢d⁢ x ∫01 ⁡ex ⁢f⁡( x)⁢d⁢ x∫0 1⁡ f⁡(x) 2⁢d ⁢x )
で定める.行列 A が逆行列をもたないときの関数 f⁡ (x ) をすべて求めよ.
2008-10421-0507
【4】 次の問いに答えよ.ただし,対数はすべて自然対数とする.
(1) 0<x≦ 1 のとき,不等式
log⁡(1 +x)- 2 ⁢xπ >0
が成立することを示せ.ただし,必要なら 0.69< log⁡2< 0.7 を用いてよい.
(2) n を 1 より大きい整数とする.次の不等式を示せ.
12 ⁢log⁡ n⁢log⁡ n⁢π 24 > ∑k= 1n− 1⁡ 2k⁢ πlog⁡ k⁢π 2⁢log⁡ (k+1 )⁢π2
2008-10421-0508
【5】 一方の面に 0 , 他方の面に 1 と書かれたカードが 6 枚ある.はじめに 0 と書いてある面が上になるようにカードを左から横一列に並べる.いまさいころを振り,出た目が k ならば k 番目のカードを裏返す操作を考える.この操作を 6 回行った後に l 番目のカードの上になっている面の数字を al として
X=a1 +2⁢ a2+ 4⁢a 3+8⁢ a4+ 16⁢a 5+32 ⁢a6
とおく.
(1) X≠1 であることを示せ.
(2) X>31 である確率を求めよ.
(3) X=0 である確率を求めよ.