2008　信州大学　後期　理学部数IIIC，医学部医学科MathJax

【１】　

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{-x}dx$を求めよ．

【１】　

(2)　極限値$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{(1-\cos x)(1-{\cos }^{2}2x)}{x{\sin }^{3}x}}$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$f(x)=\log x-\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$とおく．$0<x\leqq 1$のとき，$f(x)\geqq 0$であることを示せ．

(2)　(1)を用いて$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$であることを示せ．

(3)　関数$y=x\log x$のグラフをかけ．

(4)　$a$を$0<a<1$をみたす定数とする．

　$xy$平面上で不等式$a\leqq x\leqq 1\text{，}x\log x\leqq y\leqq 0$を同時にみたす領域の面積を$S(a)$とおく．$\underset{a\to +0}{\lim }S(a)$を求めよ．

【３】　$-\pi \leqq a\leqq \pi \text{，}-\pi \leqq b\leqq \pi$とし，$A=\left(\begin{array}{cc}\cos a& -\sin a\\ \sin a& \cos a\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}\cos b& \sin b\\ \sin b& -\cos b\end{array}\right)$とおく．

(1)　$A\text{，}B$の逆行列$A^{\mathrm{-1}}\text{，}{B}^{\mathrm{-1}}$をそれぞれ求めよ．

(2)　行列$A+B$は逆行列をもたないことを示せ．

(3)　$A^{\mathrm{-1}}{B}^{\mathrm{-1}}AB=\left(\begin{array}{cc}0& \mathrm{-1}\\ 1& 0\end{array}\right)$となるための$a$と$b$の条件を求めよ．

【１】　曲線$y=e^x-1\text{（}x\geqq 0$）を$y$軸のまわりに$1$回転してできる容器がある．長さの単位は$cm$とし，この容器に毎秒$a{cm}^3$の割合で水を注ぐ．

(1)　水面の高さが$(e^c-1)cm$に達するのに要する時間を$a\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　水面の高さが$bcm$に達したときの水面の上昇する速さ，および水面の面積が増加する速さを$a\text{，}b$を用いて表せ．

【３】(1)　$a>0$とする．すべての実数$t$に対して

$a{t}^2-2bt+c\geqq 0$

が成立するとき，$a\text{，}b\text{，}c$のみたす条件を求めよ．

(2)　$f\left(x\right)$を閉区間$[0,1]$で定義された連続関数とし，行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{2x}dx& {\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{x}f(x)dx\\ {\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{x}f(x)dx& {\displaystyle {\int }_0^1}{f(x)}^{2}dx\end{array}\right)$

で定める．行列$A$が逆行列をもたないときの関数$f(x)$をすべて求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．ただし，対数はすべて自然対数とする．

(1)　$0<x\leqq 1$のとき，不等式

$\log (1+x)-{\displaystyle \frac{2x}{\pi }}>0$

が成立することを示せ．ただし，必要なら$0.69<\log 2<0.7$を用いてよい．

(2)　$n$を$1$より大きい整数とする．次の不等式を示せ．

${\displaystyle \frac{1}{2}\log n\log \frac{n{\pi }^2}{4}>{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}\frac{2}{k\pi }\sqrt{\log \frac{k\pi }{2}\log \frac{(k+1)\pi }{2}}}$

【５】　一方の面に$0\text{，}$他方の面に$1$と書かれたカードが$6$枚ある．はじめに$0$と書いてある面が上になるようにカードを左から横一列に並べる．いまさいころを振り，出た目が$k$ならば$k$番目のカードを裏返す操作を考える．この操作を$6$回行った後に$l$番目のカードの上になっている面の数字を$a_l$として

$X=a_1+2a_2+4a_3+8a_4+16a_5+32a_6$

とおく．

(1)　$X\ne 1$であることを示せ．

(2)　$X>31$である確率を求めよ．

(3)　$X=0$である確率を求めよ．