2008　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　座標平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b)$を取る．さらに次の$2$つの条件を満たす点$\mathrm{P}$を取る．

(ⅰ)　$▵\mathrm{ABP}$は$\angle \mathrm{ABP}$を直角とする直角二等辺三角形である．

(ⅱ)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$はこの順に時計回りの位置にある．

　このとき次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{AB}=1$を満たしながら，点$\mathrm{A}$は$x$軸の$x\geqq 0$の範囲を動き，点$\mathrm{B}$は$y$軸上を動く．このとき点$\mathrm{P}$の軌跡$C$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$C\text{，}x$軸および直線$x=1$で囲まれる図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【２】　曲線$y=f(x)\text{（}0<a\leqq x\leqq b\text{）}$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))\text{（}a<t<b\text{）}$における接線を$l$とし，$l$上の点でその$x$座標が$t+1$となる点を$\mathrm{Q}$とおく．原点を$\mathrm{O}$として次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．

(2)　$a={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}b=1\text{，}f(x)=\sqrt{x}$のとき，$\theta$が最大となる$t$を求めよ．

(3)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}b=2$とする．すべての$t({\displaystyle \frac{1}{2}}<t<2)$について$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が直交し，$f(1)=\sqrt{3}$となる$f(x)$を求めよ．

【３】　座標平面上に点$\mathrm{P}(2,1)\text{，}$点$\mathrm{Q}$および第$2$象限の点$\mathrm{R}$を取る．これらの点の原点を基準とする位置ベクトル$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}\text{，}\overrightarrow{r}$は次の条件を満たす．

(ⅰ)　$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$がなす角を$\theta$とするとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{r}$がなす角は$2\theta$である．

(ⅱ)　$\left|\overrightarrow{p}\right|\left|\overrightarrow{r}\right|={|\overrightarrow{q}|}^2={|\overrightarrow{p}|}^4$

(ⅲ)　$2|\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}|=\left|\overrightarrow{r}\right|$

(ⅳ)　$\overrightarrow{q}$と$\overrightarrow{r}$は平行ではない．

　次の問いに答えよ．

(1)　角$\theta$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{Q}$に，点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{R}$に移す$1$次変換を$f$とする．このとき$f$により点$\mathrm{P}$に移される点の座標を求めよ．

【４】　表の出る確率が$p\text{（}0<p<1\text{），}$裏の出る確率が$1-p$のコインを用いて，以下の手順により$1$つの空間ベクトルを定める．$1$回目にコインを投げて，表が出れば$x$成分を$1\text{，}$裏が出れば$x$成分を$-1$とし，$2$回目にコインを投げて同じように$y$成分を決め，$3$回目にコインを投げて同じように$z$成分を決める．

　この手順を$3$回繰り返して，$3$つの空間ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を決める．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の$x$成分が同符号となる確率を$\alpha$とする．

(1)　$\alpha$を$p$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$が$1$となる確率を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の期待値を$\alpha$を用いて表せ．

(4)　$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\text{，}p={\displaystyle \frac{1}{2}}$として内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}$が正となる確率を求めよ．