2008　京都工芸繊維大学　前期MathJax

【１】　点$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間に$3$点$\mathrm{H}(0,0,h)\text{，}\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b,h)\text{（}h>0\text{，}a>0\text{，}b>0\text{）}$がある．$\angle \mathrm{OAB}$と$\angle \mathrm{HBA}$はともに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$に等しく，線分$\mathrm{AB}$の長さは$4$である．

(1)　$a\text{，}b\text{，}h$の値を求めよ．

(2)　$\theta$を$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$を満たす実数とする．次の条件を満たす$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．

$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{OA}$上にあり$\mathrm{O}$と異なる．$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{HB}$上にあり$\mathrm{H}$と異なる．

$\angle \mathrm{OPQ}$と$\angle \mathrm{HQP}$はともに$\theta$に等しい．

　このとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さと線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

【２】　$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．曲線$C_1:y=\tan x$上の点$(t,\tan t)$における$C_1$の接線を$l_1$とし，曲線$C_2:y={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$上の点$(t,{\displaystyle \frac{1}{\cos t}})$における$C_2$の接線を$l_2$とする．$l_1$と$l_2$の交点の座標を$(f(t),g(t))$とする．

(1)　$f(t)$および$g(t)$を求めよ．

(2)　不等式$f(t)<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$が成り立つことを示せ．

(3)　極限$\underset{t\to \frac{\pi }{2}-0}{\lim }({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-t)g(t)$を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}& -\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\\ \sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}& \cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\end{array}\right)$を考える．

(1)　次の等式を満たす実数$a\text{，}b$を求めよ．

$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}A\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}7\\ 7\sqrt{3}\end{array}\right)$

(2)　実数$x_0\text{，}{y}_0$に対して，数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$を次の漸化式で定義する．

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}A\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}7\\ 7\sqrt{3}\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)で求めた$a\text{，}b$に対し，

$\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\text{，}{d}_n=\sqrt{{p_n}^2+{q_n}^2}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とおくとき，$d_n$を$n$と$n_0$を用いて表せ．

【４】　$n$を自然数とする．$x>0$に対して

$f_n(x)={\displaystyle \frac{x}{{(x^2+1)}^n}\text{，}{g}_n(x)={\displaystyle {\int }_1^x}{f}_n(t)\log tdt}$

とおく．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }{f}_n(x)dx$を求めよ．

(2)　等式${\displaystyle {\int }_1^x}{\displaystyle \frac{t^3}{{(t^2+1)}^{n+1}}}\log tdt=g_n(x)-g_{n+1}(x)$が成り立つことを示せ．

(3)　$x>0$において微分可能な関数$f(x)$について，等式

${\displaystyle \int }\{f(x)+x{f}^{\prime }(x)\}\log xdx=xf(x)\log x-{\displaystyle \int }f(x)dx$

が成り立つことを示せ．

(4)　(2)，(3)を利用して，$(1-n)g_n(x)+n{g}_{n+1}(x)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_1^x}{f}_n(t)dt$を求めよ．