2008　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】(1)　$0<r<R$とする．$xyz$空間において，原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$R$の球を考える．その球を平面$x=r$で分けた$2$つの部分のうち，$\mathrm{O}$を含まない部分の体積を求めよ．

(2)　正四面体$V$を考える．$V$の$4$頂点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．$V$の重心$\mathrm{G}$は，三角形$\mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{AM}$を$3:1$に内分する点である．$\mathrm{G}$を中心とし$\mathrm{GM}$を半径とする球は$V$に内接している．$\mathrm{G}$を中心とする球$S$があり，$V$の各面と$S$の共通部分はその面（正三角形）の内接円となっている．このとき，$V$の$1$辺の長さを$6\sqrt{2}$として，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　線分$\mathrm{GM}$の長さと$V$の体積を求めよ．

(ⅱ)　$S$の半径と$S$の体積を求めよ．

(ⅲ)　$V$と$S$の共通部分を$V_1$とし，$V$から$V_1$を除いた部分を$V_2$とする．$V_2$の体積を求めよ．

【２】　$a>1$とする．$I={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{a}}^a}{\displaystyle \frac{1}{x}}{(\log x)}^{2}dx\text{，}J={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{a}}^a}{\displaystyle \frac{1}{x}}(\log x)\log (x^2+1)dx$とおく．

(1)　$I$を求めよ．

(2)　$x={\displaystyle \frac{1}{t}}$とおく置換積分法を用いて$J$を求めよ．

【３】　座標平面上で，原点を中心とする半径$1$の円$C$と，$C$上の点${\mathrm{A}}_0(1,0)$を考える．$9$回続けてコインを投げ，$C$上の$9$個の点${\mathrm{A}}_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}9\text{）}$を順に次のように定める．

${\mathrm{A}}_{k-1}$が定まっているとして，$k$回目のコイン投げの結果が，表であれば${\mathrm{A}}_k$は${\mathrm{A}}_{k-1}$を原点を中心として反時計回りに$90°$だけ回転した点とし，裏であれば${\mathrm{A}}_k$は${\mathrm{A}}_{k-1}$を原点を中心として反時計回りに$60°$だけ回転した点とする．

(1)　${\mathrm{A}}_4$が${\mathrm{A}}_0$と一致する確率を求めよ．

(2)　${\mathrm{A}}_5$が${\mathrm{A}}_0$と一致する確率を求めよ．

(3)　${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_8$のいずれも${\mathrm{A}}_0$と一致せず${\mathrm{A}}_9$が${\mathrm{A}}_0$と一致する確率を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$を考える．$c$を正の定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．

$a_1=f(c)\text{，}{a}_{n+1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{a_n+1}{2}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　等式${\displaystyle \frac{f(x)+1}{2}}={\{f({\displaystyle \frac{x}{2}}\left)\right\}}^2\text{，}{\displaystyle \frac{f(x)-1}{2}}={\{g({\displaystyle \frac{x}{2}}\left)\right\}}^2$が成り立つことを示せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{4}^n(a_n-1)$を求めよ．