2008　大阪大学　前期MathJax

【１】　点$\mathrm{O}$で交わる$2$つの半直線$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}$があって$\angle \mathrm{XOY}=60°$とする．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が$\mathrm{OX}$上に$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の順に，また，$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が$\mathrm{OY}$上に$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の順に並んでいるとして，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さを$s\text{，}$線分$\mathrm{CD}$の長さを$t$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{MN}$の長さを$s$と$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が，$s^2+t^2=1$を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{MN}$の長さの最大値を求めよ．

【２】　実数$a\text{，}b$を係数に含む$3$次式$P(x)=x^3+3a{x}^2+3ax+b$を考える．$P(x)$の複素数の範囲における因数分解を

$P(x)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$

とする．$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の間に$\alpha +\gamma =2\beta$という関係があるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$の式で表せ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$がすべて実数であるとする．このとき$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　(1)で求めた$a$の式を$f(a)$とする．$a$が(2)の範囲を動くとき，関数$b=f(a)$のグラフをかけ．

【３】　$a$を正の定数とし，

$f(x)=||x-3a|-a|\text{，}g(x)=-x^2+6ax-5a^2+a$

を考える．

(1)　方程式$f(x)=a$の解を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$y=f(x)$のグラフで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　$2$次の正方行列$A_0\text{，}{A}_1\text{，}{A}_2\text{，}{A}_3\text{，}\cdots$を

$A_0=O\text{，}{A}_n=B+A_{n-1}C\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．ただし，$O$は$2$次の零行列，$B$と$C$は$2$次の正方行列とする．

(1)　$A_n(E-C)$を$B$と$C$を用いて表せ．ここで$E$は$2$次の単位行列とする．

(2)　$B$と$C$を

$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ \mathrm{-1}& 1\end{array}\right)$

とするとき，$A_{3n}$を求めよ．

【３】　$N$を$2$以上の自然数とする．

(1)　関数$f(x)=(N-x)\log x$を$1\leqq x\leqq N$の範囲で考える．このとき，曲線$y=f(x)$は上に凸であり，関数$f(x)$は極大値を$1$つだけとる．このことを示せ．

(2)　自然数の列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_N$を

$a_n=n^{N-n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N$）

で定める．$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_N$のうちで最大の値を$M$とし，$M=a_n$となる$n$の個数を$k$とする．このとき$k\leqq 2$であることを示せ．

(3)　(2)で$k=2$となるのは，$N$が$2$のときだけであることを示せ．

【４】　$t$を負の実数とし，$xy$平面上で曲線$y=2^{2x+2t}$と曲線$y=2^{x+3t}$および$y$軸で囲まれる部分を$D$とする．

(1)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V\left(t\right)$を求めよ．

(2)　$t$が負の実数の範囲を動くとき，$V\left(t\right)$の最大値を求めよ．

【５】　$1$枚の硬貨を繰り返し投げる反復試行を行い，表が$500$回続けて出たときに終わるものとする．$n$を$500$以上の自然数とするとき，この反復試行が$n$回目で終わる確率を$p(n)$とする．

(1)　$501\leqq n\leqq 1000$のとき，$p(n)$は$n$に関係なく一定の値になることを示し，またその値を求めよ．

(2)　$p(1002)-p(1001)$の値を求めよ．

(3)　$1002\leqq n\leqq 1500$のとき，$p(n+1)-p(n)$の値を求めよ．