Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2008年度一覧へ
大学別一覧へ
大阪大学一覧へ
2008-10561-0201
2008 大阪大学 後期
理,工,基礎工学部
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 n を自然数とする.
(1) 4n− 1 が 15 の倍数となるような n をすべて求めよ.
(2) (1)で求めた n を小さい順に並べた数列を a 1 , a2 ,⋯ とする.自然数 k に対して
A k={ x| xは ak≦ log4⁡ x≦a k+1 を満たす自然数}
とするとき, Ak に属する 3 の倍数の和 S k を求めよ.
(3) limk →∞ ⁡ Sk 44 ⁢k を求めよ.
2008-10561-0202
配点70点
【2】 a, b を a> b>0 をみたす定数とし,直線 l , m をそれぞれ, y=a⁡ x ,y =b⁢x とする.点 P 1( p,q ) を l 上にも m 上にもない点とする.
(1) P1 から l に下ろした垂線が l と交わる点を Q , P1 から m に下ろした垂線が m と交わる点を R とする. Q と R の座標をそれぞれ求めよ.
(2) 四角形 P 1QP 2R が平行四辺形となるように点 P 2 をとる. P1 を P 2 に移す一次変換 f を表す行列 M を求めよ.
(3) 一次変換 f によって, P2 は P 3 に, P3 は P 4 に, ⋯ ,P n−1 は P n に移るとする.このとき, Pn の座標を求めよ.
2008-10561-0203
【3】 媒介変数 t によって
x=cos⁡ t, y=cos⁡ n⁢t (0 ≦t≦π )
と表される曲線を y= fn⁡ (x) (−1 ≦x≦1 )とする.ただし, n は自然数である.
(1) f1⁡ (x) ,f 2⁡( x) , f3⁡ (x) を求めよ.
(2) n≧2 のとき f n+1 =2⁢ x⁡f n⁡( x)− fn− 1⁡ (x) を示せ.
(3) cos⁡ π4⁢ n は無理数であることを示せ.ただし, 2 が無理数であることを証明なしで用いてよい.
2008-10561-0204
【4】 xy 平面の単位円上に点 P (cos⁡ t,sin⁡ t)( 0≦ t≦π )がある.点 Q は PQ =d を満たす x 軸の正の部分にある点とする.ただし, d は定数で d >1 とする.点 R を線分 PQ の中点とする.
(1) R の座標を求めよ.
(2) t が 0 ≦t≦ π の範囲を動くときに R の描く曲線と x 軸で囲まれる部分の面積を求めよ.