2008　大阪大学　後期

【１】　$n$を自然数とする．

(1)　$4^n-1$が$15$の倍数となるような$n$をすべて求めよ．

(2)　(1)で求めた$n$を小さい順に並べた数列を$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots$とする．自然数$k$に対して

$A_k=\{x|x\text{は}{a}_k\leqq {\log }_{4}x\leqq a_{k+1}\text{を満たす自然数}\}$

とするとき，$A_k$に属する$3$の倍数の和$S_k$を求めよ．

(3)　$\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_k}{4^{4k}}}$を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を$a>b>0$をみたす定数とし，直線$l\text{，}m$をそれぞれ，$y=ax\text{，}y=bx$とする．点${\mathrm{P}}_1(p,q)$を$l$上にも$m$上にもない点とする．

(1)　${\mathrm{P}}_1$から$l$に下ろした垂線が$l$と交わる点を$\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{P}}_1$から$m$に下ろした垂線が$m$と交わる点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　四角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{QP}}_2\mathrm{R}$が平行四辺形となるように点${\mathrm{P}}_2$をとる．${\mathrm{P}}_1$を${\mathrm{P}}_2$に移す一次変換$f$を表す行列$M$を求めよ．

(3)　一次変換$f$によって，${\mathrm{P}}_2$は${\mathrm{P}}_3$に，${\mathrm{P}}_3$は${\mathrm{P}}_4$に，$\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n-1}$は${\mathrm{P}}_n$に移るとする．このとき，${\mathrm{P}}_n$の座標を求めよ．

【３】　媒介変数$t$によって

$x=\cos t\text{，}y=\cos nt\text{（}0\leqq t\leqq \pi$）

と表される曲線を$y=f_n(x)\text{（}\mathrm{-1}\leqq x\leqq 1$）とする．ただし，$n$は自然数である．

(1)　$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}{f}_3(x)$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき$f_{n+1}=2x{f}_n(x)-f_{n-1}(x)$を示せ．

(3)　$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4n}}$は無理数であることを示せ．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることを証明なしで用いてよい．

【４】　$xy$平面の単位円上に点$\mathrm{P}(\cos t,\sin t)\text{（}0\leqq t\leqq \pi$）がある．点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=d$を満たす$x$軸の正の部分にある点とする．ただし，$d$は定数で$d>1$とする．点$\mathrm{R}$を線分$\mathrm{PQ}$の中点とする．

(1)　$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq \pi$の範囲を動くときに$\mathrm{R}$の描く曲線と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．