2008　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　$k$は定数とする．関数$f(x)=-x^3-3x^2+3kx+3k+2$の$-1\leqq x\leqq 1$の範囲における最大値を求めよ．

【２】　座標平面上の$2$点$\mathrm{Q}(1,1)\text{，}\mathrm{R}(2,{\displaystyle \frac{1}{2}})$に対して，点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2=1$の周上を動くとき，次の問に答えよ．

(1)　$▵\mathrm{PQR}$の重心の軌跡を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$から$▵\mathrm{PQR}$の重心までの距離が最小となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{PQR}$の面積の最小値を求めよ．

【３】　定数$p$と$q$はそれぞれ$0<p<1$と$0<q<1$を満たすとする．行列$A$と$B$をそれぞれ

$A=\left(\begin{array}{cc}1-p& q\\ p& 1-q\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}q& -1\\ p& 1\end{array}\right)$

と定義する．座標平面上の変換（移動ともいう）$f:(x,y)\mapsto (x^{\prime },y^{\prime })$を行列$A$を用いて

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

と定義する．座標平面上の点からなる集合$S$を

$S=\{(x,y)|x+y=1\text{，}x>0\text{，}y>0\}$

と定義する．

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　集合$S$の任意の点$(x,y)$は変換$f$によって集合$S$の点に移ることを示せ．

(2)　$B$の逆行列$B^{-1}$を求め，行列の積$B^{-1}AB$を計算せよ．

(3)　自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

(4)　集合$S$の任意の点${\mathrm{P}}_0(x_0,y_0)$をとる．変換$f$によって点${\mathrm{P}}_0(x_0,y_0)$が移る点を${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)$と表す．以下同様に，自然数$n$に対して点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$が変換$f$によって移る点を${\mathrm{P}}_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})$と表す．このとき，次の$3$つの条件を満たす点$\mathrm{Q}$を求めよ．

(ⅰ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_n\mathrm{Q}}\right|=0$

0

(ⅱ)　$\mathrm{Q}\in S$

(ⅲ)　点$\mathrm{Q}$は点${\mathrm{P}}_0(x_0,y_0)$の取り方によらない

【４】　次の問に答えよ．

(1)　すべての実数$x$に対して，次の不等式を証明せよ．

(ⅰ)　$1+x\leqq e^x$

(ⅱ)　$1-x^2\leqq e^{-x^2}\leqq {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

(2)　次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{2}{3}}<{\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-x^2}dx<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$