2008　神戸大学　後期MathJax

【１】　次の数列を考える．

${\displaystyle \frac{1\times 2}{1\times 2}}|$${\displaystyle \frac{2\times 3}{1\times 2}},$${\displaystyle \frac{2\times 3}{2\times 3}},$${\displaystyle \frac{1\times 2}{2\times 3}}|$${\displaystyle \frac{3\times 4}{1\times 2}},$${\displaystyle \frac{3\times 4}{2\times 3}},$${\displaystyle \frac{3\times 4}{3\times 4}},$${\displaystyle \frac{2\times 3}{3\times 4}},$${\displaystyle \frac{1\times 2}{3\times 4}}|$${\displaystyle \frac{4\times 5}{1\times 2}},\cdots$

つまり，第$1$群には$1$個の分数があり，第$2$群には$3$個の分数があり，一般に，第$k$群には$(2k-1)$個の分数がある（$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）．また，第$k$群の$i$番目の分数は

$\begin{array}{ll}1\leqq i\leqq k\text{のとき}& {\displaystyle \frac{k(k+1)}{i(i+1)}}\\ k+1\leqq i\leqq 2k-1\text{のとき }& {\displaystyle \frac{(2k-i)(2k-i+1)}{k(k+1)}}\end{array}$

である．まず，第$1$群の分数が並び，次に，第$2$群の分数が並び，以下，順次各群の分数が並んでいる数列である．例えば，この数列の第$6$項は，第$3$群の$2$番目の分数であり，${\displaystyle \frac{3\times 4}{2\times 3}}$である．このとき，次の問に答えよ．

(1)　この数列の第$101$項を求めよ．

(2)　この数列の初項から第$100$項までの和を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{O}$をとる．$\angle \mathrm{AOB}=\gamma \text{，}\angle \mathrm{BOC}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{COA}=\beta$とする．ただし，$0<\alpha <\pi \text{，}0<\beta <\pi \text{，}0<\gamma <\pi$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と同じ向きで大きさが$\sin \alpha$のベクトルを$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と同じ向きで大きさが$\sin \beta$のベクトルを$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と同じ向きで大きさが$\sin \gamma$のベクトルを$\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{a}=0$を示せ．

(2)　$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$を示せ．

【３】　$1$個のサイコロを何回か投げ，投げるたびに出た目に応じて次のように得点するゲームを考える．サイコロを$1$回投げたとき得られる点数は，$1$の目が出たときは$2$点，$2$または$3$の目が出たときは$1$点，$4\text{，}5$または$6$の目が出たときは$0$点である．そして，サイコロを投げるたびに得られる点数の総和を合計得点と呼ぶ．このゲームは合計得点が$2$点以上になるか，サイコロを$10$回投げると終了する．このとき，次の問に答えよ．

(1)　サイコロを$1$回投げてゲームが終了する確率を求めよ．

(2)　サイコロをちょうど$2$回投げてゲームが終了する確率を求めよ．

(3)　サイコロをちょうど$3$回投げてゲームが終了する確率を求めよ．

(4)　$4\text{，}5$または$6$の目が出たときには$0$点であるだけでなく，それまでの得点がすべて$0$点になるというルールを追加する．このとき，サイコロをちょうど$3$回投げてゲームが終了する確率を求めよ．

【１】　$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{AD}=4$である平行四辺形$\mathrm{ABCD}$について，次の問に答えよ．

(1)　対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$の長さをそれぞれ$x\text{，}y$とするとき，$x^2+y^2$の値を求めよ．

(2)　対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$の交点を中心とする直径$5$の円と，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の周（$4$辺および$4$頂点）との共有点の個数を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　実数$a={\displaystyle \frac{1}{3-\sqrt{5}}}$の整数部分$b$と小数部分$c$を求めよ．

　つまり，

$a=b+c$

$b\leqq a<b+1$

$0\leqq c<1$

をみたす整数$b$と実数$c$を求めよ．

(2)　(1)の$a$と$c$について，方程式$4x^3-6x^2-x+1=0$は$c<x<a$の範囲に解をもつことを示せ．

【３】　整数のなかで，$1\text{，}3\text{，}5\text{，}\cdots$や$-1\text{，}-3\text{，}-5\text{，}\cdots$のように，ある整数$n$を用いて$2n+1$と表せるものを奇数とよぶ．また，$0\text{，}2\text{，}4\text{，}6\text{，}\cdots$や$-2\text{，}-4\text{，}-6\text{，}\cdots$のように，ある整数$n$を用いて$2n$と表せるものを偶数とよぶ．原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面において，$x$座標と$y$座標が，ともに奇数であるか，ともに偶数であるような点全体の集合を$S$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}$と異なる$S$の点で$\mathrm{O}$に最も近い点が$4$つある．これら$4$点の座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた$4$点のうち，$x$座標が正の$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を成分で表せ．

(3)　$S$の点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は，(2)で求めた$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の整数倍の和で表せる，つまり，整数$m\text{，}n$を適切に選べば，$m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+n\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の形で表せることを示せ．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\sin x\geqq {\displaystyle \frac{2}{\pi }}x$を示せ．

(2)　$n$を自然数とする．

${\displaystyle \frac{\pi }{2n}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$n\sin x\geqq 1$を示せ．

(3)　$n$を自然数とする．

$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$のとき$n\sin x\geqq \sin nx$を示せ．

(4)　$n$を$4$で割って$1$余る自然数とする．

$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$n\cos x\geqq \cos nx$を示せ．

【５】　$n$を自然数とする．つぼの中に，$1$の数字を書いた玉が$1$個，$2$の数字を書いた玉が$1$個，$3$の数字を書いた玉が$1$個，…，$n$の数字を書いた玉が$1$個，合計$n$個の玉が入っている．つぼから無作為に玉を$1$個取り出し，書かれた数字を見て，元に戻す試行を$n$回おこなう．このとき，次の問に答えよ．

(1)　試行を$n$回おこなったとき，$k$の数字が書かれた玉をちょうど$k$回取り出す確率を$p_k$とする．$p_k$を$k$の式で表せ．ただし，$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n$とする．

(2)　(1)で求めた$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3\text{，}\cdots \text{，}{p}_n$について，

$q_n=2p_1+2^2{p}_2+2^3{p}_3+\cdots +2^n{p}_n$

とおく．この$q_n$について，極限$\underset{n\infty }{\lim }{q}_n$の値を求めよ．