2008　岡山大学　前期MathJax

【１】　$p\text{，}q$を$0$でない定数とする．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=p{a}_n+{\displaystyle \frac{q-p}{2}}{q}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

【２】　勝つ確率が$p\text{（}0\leqq p\leqq 1\text{）}$のゲームに，保有ポイントの一部を$\stackrel{\text{か}}{\text{賭}}$けて参加する．このゲームには引き分けはなく，勝てば賭けたポイントがもどり，さらに賭けたポイントの$2$倍を得るが，負ければ賭けたポイントを失う．ポイントは正の実数であるとする．例えば$10$ポイント保有しているときに$1.5$ポイントを賭けると，勝てば保有ポイントは$13$となり，負ければ$8.5$となる．

　このゲームに繰り返し参加するものとし，毎回その時点での保有ポイントの$x$倍（$0<x<1$）を賭ける．例えば最初の保有ポイントが$10$で$x=0.1$とすれば，最初は$1$ポイントを賭ける．勝てば保有ポイントが$12$となり，次回は$1.2$ポイントを賭ける．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1$回の参加で勝った場合，負けた場合，それぞれの保有ポイントが何倍になるかを$x$を用いて表せ．

(2)　(1)　で求めた倍率の期待値を，$x$と$p$を用いて表せ．

(3)　$p={\displaystyle \frac{2}{5}}$とする．このゲームに$2$回参加した時点で，$2$勝，$1$勝，$0$勝の中でどの場合の確率が最も高いか．またその場合に保有ポイントが最大になる$x$の値を求めよ．

【３】　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$のとき，$\cos \theta -\sin \theta$の値を求めよ．

(2)　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$のとき，$2\cos (2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$の値を求めよ．

(3)　$2\cos (2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\leqq -1$のとき，$\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$xy$平面上に

円$C_1:x^2+y^2=1$，放物線$C_2:y=x^2+5$

がある．また点$\mathrm{P}(x_1,y_1)$を円$C_1$上の点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}(x_1,y_1)$における円$C_1$の接線$l$の方程式を求めよ（答のみでよい）．

(2)　点$\mathrm{P}(x_1,y_1)$における円$C_1$の接線$l$が放物線$C_2$と共有点を持つときの，$y_1$の値の範囲を求めよ．

(3)　円$C_1$の接線で，その接点の$y$座標が負であり，放物線$C_2$の接線となるものは$2$本ある．これら$2$本の直線それぞれが放物線$C_2$と接する点の座標を求めよ．

(4)　(3)の$2$本の直線と放物線$C_2$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【１】　$n$を$3$以上の整数とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人がそれぞれ$1$から$n$までの整数を$1$つ選ぶ．どの数を選ぶ確率も等しく${\displaystyle \frac{1}{n}}$とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が選んだ数を順に$a\text{，}b\text{，}c$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$人のうち，少なくとも$1$人が$n$を選ぶ確率を求めよ．

(2)　$a$と$b$が等しくなる確率を求めよ．

(3)　$2$人が同じ数，他の$1$人が異なる数を選ぶ確率を求めよ．

(4)　$a<b<c$となる確率を求めよ．

【２】　次の各問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}q$を$0$でない定数とする．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=p{a}_n+{\displaystyle \frac{q-p}{2}}{q}^{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　次の各問いに答えよ．

(2)　

$b_n={(-1)}^{n-1}\log {\displaystyle \frac{n+2}{n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列$\left\{b_n\right\}$に対して，

$S_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$

とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【３】　$a$を$0$以上の実数，$n$を正の整数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　

${\displaystyle {\int }_0^a}{e}^{a-x}{(1+{\displaystyle \frac{x}{n}})}^{n}dx={\displaystyle {\int }_0^a}{e}^{a-x}{(1+{\displaystyle \frac{x}{n}})}^{n-1}dx+e^a-{(1+{\displaystyle \frac{a}{n}})}^n$

が成り立つことを示せ．

(2)　${(1+{\displaystyle \frac{a}{n}})}^{n-1}\leqq {(1+{\displaystyle \frac{a}{n}})}^n\leqq e^a$が成り立つことを示せ．

(3)　$e^a-{(1+{\displaystyle \frac{a}{n}})}^n\leqq {\displaystyle \frac{a^2{e}^a}{2n}}$が成り立つことを示せ．

【４】　$xy$平面の曲線

$C:x={\displaystyle \frac{\cos t}{1-\sin t}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\sin t}{1-\cos t}}(0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

について，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$上の$t=\theta$に対応する点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{\cos \theta }{1-\sin \theta }},{\displaystyle \frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }})$における$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$\alpha =\sin \theta +\cos \theta$とおく．点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{\cos \theta }{1-\sin \theta }},{\displaystyle \frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }})$における曲線$C$の接線$l$と$x$軸，$y$軸で囲まれた三角形の面積$S$を$\alpha$の式で表せ．

(3)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，(2)で求めた面積$S$の値の範囲を求めよ．