2008　九州大学　前期MathJax

【１】　自然数$n$に対して，$a_n=(\cos 2^n)(\cos 2^{n-1})\cdots (\cos 2)(\cos 1)$とおく．ただし，角の大きさを表すのに弧度法を用いる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1={\displaystyle \frac{\sin 4}{4\sin 1}}$を示せ．

(2)　$a_n={\displaystyle \frac{\sin 2^{n+1}}{2^{n+1}\sin 1}}$を示せ．

(3)　$a_n<{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2^{n+1}}}$を示せ．

【２】　放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$における$C$の接線と点$\mathrm{P}$で垂直に交わる直線である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$(p,p^2)$における$C$の法線の方程式を求めよ．

(2)　$y$軸上の点$(0,a)$を通る$C$の法線の本数を求めよ．

【３】　右図のような五角形$\mathrm{ABCDE}$（角$\mathrm{A}$が直角である二等辺三角形$\mathrm{ABE}$と長方形$\mathrm{BCDE}$をあわせた図形）において，辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{DE}$の長さは$1\text{，}$辺$\mathrm{CD}$と線分$\mathrm{BE}$の長さは$2$とする．線分$\mathrm{BE}$の中点を$\mathrm{O}$とする．また，$5$枚のカードがあり，それぞれに$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$と書いてある．カードをよくきって$1$枚引き，もとに戻す．この操作を$n$回繰り返し，$i$回目に引いたカードの文字を${\mathrm{P}}_i$とする．たとえば，$i$回目に$\mathrm{B}$を引いたとすると，${\mathrm{P}}_i=\mathrm{B}$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}$と$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_2}$の内積が$1$である確率を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_i}$の内積を$q_i$とする．このとき，$q_1{q}_2\cdots q_n=0$となる確率を求めよ．

【４】　放物線$C:y=x^2-1$と$a_1>1$をみたす実数$a_1$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$(a_1,{a_1}^2-1)$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$a_2$とするとき，$a_2$を$a_1$を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた$a_2$に対して，$C$上の点$(a_2,{a_2}^2-1)$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$a_3$とする．この操作を繰り返してできる数列を$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$とする．このとき，すべての$n$に対して，$a_n>1$を示せ．

(3)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n-1)$とおくとき，すべての$n$に対して，$b_{n+1}<{b_n}^2$を示せ．

(4)　$a_1=2$のとき，$b_n<{10}^{\mathrm{-12}}$となる$n$の値を$1$つ求めよ．ただし，必要があれば，${\log }_{10}2$を$0.301$として計算してよい．

【１】　$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減，凹凸，漸近線を調べ，グラフをかけ．

(2)　$f(x)$の逆関数$f^{\mathrm{-1}}(x)$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\displaystyle \{f^{\mathrm{-1}}(\frac{1}{n+2})-f^{\mathrm{-1}}(\frac{1}{n+1}\left)\right\}}$を求めよ．

【２】　$1$から$10$までの番号が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードがある．$k$を$2$から$9$までの整数の$1$つとする．よくきった$10$枚のカードから$1$枚を抜き取り，そのカードの番号が$k$より大きいなら，抜き取ったカードの番号を得点とする．抜き取ったカードの番号が$k$以下なら，そのカードを戻さずに，残りの$9$枚の中から$1$枚を抜き取り，$2$回目に抜き取ったカードの番号を得点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　得点が$1$である確率と$10$である確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$2$以上$9$以下の整数$n$に対して，得点が$n$である確率を求めよ．

(3)　得点の期待値を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}$をとり，直線$\mathrm{OQ}$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$に関して点$\mathrm{O}$と反対側にあるとする．$3$つの三角形$▵\mathrm{OAP}\text{，}▵\mathrm{OBP}\text{，}▵\mathrm{ABP}$の面積をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(3)　$3$辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{AB}$の長さはそれぞれ$3\text{，}5\text{，}6$であるとする．点$\mathrm{P}$を中心とし，$3$直線$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{AB}$に接する円が存在するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

【４】　$a>0$に対して，$f(x)=a+\log x\text{（}x>0$），$g(x)=\sqrt{x-1}\text{（}x\geqq 1$）とおく．$2$曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$が，ある点$\mathrm{P}$を共有し，その点で共通の接線$l$を持つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値，点$\mathrm{P}$の座標，および接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$2$曲線は点$\mathrm{P}$以外の共有点をもたないことを示せ．

(3)　$2$曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　いくつかの半径$3$の円を，半径$2$の円$Q$に外接し，かつ互いに交わらないように配置する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　半径$3$の円の$1$つを$R$とする．円$Q$の中心を端点とし，円$R$に接する$2$本の半直線のなす角を$\theta$とおく．ただし，$0<\theta <\pi$とする．このとき，$\sin \theta$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{3}<\theta <\frac{\pi }{2}}$を示せ．

(3)　配置できる半径$3$の円の最大個数を求めよ．