2008　九州大学　後期MathJax

【１】　平面上の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標をそれぞれ$(0,a)\text{，}(b,0)\text{，}(c,0)$とする．ただし$a>0\text{，}b<0\text{，}c>0$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{BCH}$の垂心が点$\mathrm{A}$となるような点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{HA}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{BH}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．$\angle \mathrm{PQM}=90°$であることを示せ．

(3)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{M}$を通る円の中心$\mathrm{N}$の座標を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{M}$を通る円は，線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{R}$および原点も通ることを示せ．

【２】　右の図1と図2は碁盤の目状の道路とし，すべて等間隔であるとする．

　以下の問いに答えよ．

(1)　図1において，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$に行く最短経路は全部で何通りあるか求めよ．

(2)　図1において，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$に行く最短経路で，点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$のどちらも通らないものは全部で何通りあるか求めよ．

(3)　図2において，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$に行く最短経路は全部で何通りあるか求めよ．ただし斜線の部分は通れないものとする．

【３】　行列$B\text{，}E\text{，}A$をそれぞれ$B=\left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{-2}\\ \mathrm{-2}& 4\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}A=E+aB$と定める．ここで$a$は実数とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$P=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$が$P=AP$を満たすとき，$x$と$y$が満たすべき条件を求めよ．

(2)　行列$A$の表す移動が原点を通る直線に関する対称移動であるような$a$の値と，その直線を求めよ．

(3)　$A^n=E+u_{n}B$を満たす実数$u_n$を$a$と$n$を用いて表せ．ただし$n$は自然数とする．

【４】　$xy$平面上の双曲線$C_1:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}=\mathrm{-1}\text{（}a>0\text{，}b>0$）と円$C_2:x^2+{(y-\sqrt{a^2+b^2})}^2=c^2\text{（}c>0$）について，以下の問いに答えよ．

(1)　双曲線$C_1$と円$C_2$が接するとき，$c$を$a$と$b$で表せ．

(2)　双曲線$C_1$と円$C_2$の共有点の個数が，$0$個，$1$個，$2$個，$3$個のそれぞれの場合に$c$の取り得る範囲を$a$と$b$で表せ．

(3)　$c={\displaystyle \frac{b}{2}}+1$のとき，共有点が$2$個になる範囲を$ab$平面上で図示せよ．

【５】　関数$f(x)\text{（}x\geqq \mathrm{-1}\text{）}$を

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\log (1+x)}{1+x}}& \text{（}x\geqq 0\text{）}\\ {\displaystyle \frac{\log (1-x)}{1-x}}& \text{（}\mathrm{-1}\leqq x<0\text{）}\end{array}$

と定める．以下の問いに答えよ．なお，自然対数の底を$e$とし，必要ならば$2<e<3$であることを用いてよい．

(1)　$f(x)$の増減を調べよ．また，$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．

(2)　実数$a$に対して，$S(a)={\displaystyle {\int }_{\mathrm{-1}}^{e-1}}|f(x)-a|dx$とおく．

　$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{e}}$における$S(a)$の最小値を与える$a$の値を求めよ．