2008　九州工業大学　前期MathJax

【１】　$2$つのさいころを同時に投げるとき，偶数の目が出たさいころの個数を$a\text{，}1$の目が出たさいころの個数を$b$とする．次に答えよ．

(ⅰ)　$x$に関する$2$次方程式$x^2+2(a-1)x+b=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$a\text{，}b$の組をすべて求めよ．

(ⅱ)　$x$に関する$2$次方程式$x^2+2(a-1)x+b=0$の実数解の個数の期待値を求めよ．ただし，重解については，その解の個数を$1$と数える．

(ⅲ)　$x$に関する$3$次方程式$x^3+3a{x}^2-9a^{2}x-27b=0$の実数解の個数の期待値を求めよ．ただし，重解（$2$重解または$3$重解）については，その解の個数を$1$と数える．

【２】　四角形$\mathrm{ABCD}$を底面とし$\mathrm{O}$を頂点とする四角錐$\mathrm{O}-\mathrm{ABCD}$において，底面の四角形$\mathrm{ABCD}$は$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=2\overrightarrow{\mathrm{BC}}$をみたしている．辺$\mathrm{OD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{M}$を通る平面が辺$\mathrm{OC}$と交わる点を$\mathrm{N}$とする．次に，四角形$\mathrm{ABNM}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$が底面$\mathrm{ABCD}$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次に答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(ⅳ)　線分の長さの比$\mathrm{OP}:\mathrm{PQ}$を求めよ．

【３】　行列$A\text{，}B\text{，}{X}_0\text{，}{Y}_0$を

$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 3\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -1& 1\end{array}\right)\text{，}{X}_0=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{，}{Y}_0=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$

とする．$2$次の正方行列$X_n\text{，}{Y}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$X_n=A{X}_{n-1}+B{Y}_{n-1}\text{，}{Y}_n=B{X}_{n-1}+A{Y}_{n-1}$

により定める．次に答えよ．

(ⅰ)　$X_1\text{，}{Y}_1$を定めよ．

(ⅱ)　$C=A+B$とする．すべての自然数$n$に対して$C^n=\left(\begin{array}{cc}{4}^n& -n\cdot 4^n\\ 0& 4^n\end{array}\right)$が成り立つことを数学的帰納法によって示せ．

(ⅲ)　自然数$n$に対して$S_n=X_n+Y_n$とおく．$S_n$を求めよ．

(ⅳ)　自然数$n$に対して$T_n=X_n-Y_n$とおく．$T_n$を求めよ．

$\text{(v)}$　自然数$n$に対して$X_n$を求めよ．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(4,0)\text{，}\mathrm{B}(4,4)\text{，}\mathrm{C}(0,4)\text{，}\mathrm{D}(3,2)$がある．点$\mathrm{R}$は正方形$\mathrm{OABC}$の周上では速さ$4$で動き，正方形の内部では速さ$1$で動く．次に答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}(x,0)$を線分$\mathrm{OA}$上の点とする．点$\mathrm{R}$が$\mathrm{O}$を出発して，折れ線$\mathrm{OPD}$に沿って$\mathrm{D}$に到達するまでの時間$f(x)\text{（}0\leqq x\leqq 4\text{）}$を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた$f(x)$に対して，$f^{\prime }(x)=0$をみたす$x$を求めよ．

(ⅲ)　(ⅰ)で求めた$f(x)$の最小値$T_1$を求めよ．

(ⅳ)　点$\mathrm{Q}(4,x)$を線分$\mathrm{AB}$上の点とする．点$\mathrm{R}$が$\mathrm{O}$を出発して，折れ線$\mathrm{OAQD}$に沿って$\mathrm{D}$に到達するまでの時間を$g(x)\text{（}0\leqq x\leqq 4\text{）}$とする．$g(x)$の最小値$T_2$を求め，(ⅲ)で求めた値$T_1$との大小を比較せよ．

【５】　$k>0$とする．$2$つの曲線

$C_1:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{4-k}{2}}x+1\text{，}{C}_2:y=k\log {\displaystyle \frac{x}{2}}+k-1$

は，ある共有点$\mathrm{P}$において共通の接線$l$をもっている．ただし，対数は自然対数を表す．次に答えよ．

(ⅰ)　共有点$\mathrm{P}$の座標と共通の接線$l$の方程式を$k$を用いて表せ．

(ⅱ)　接線$l$が点$(1,0)$を通るとき，曲線$C_2$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．

(ⅲ)　接線$l$が点$(1,0)$を通るとき，曲線$C_2$と$x$軸および接線$l$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　実数$c\text{（}c>0\text{）}$に対して，$x>0$で定義された次の関数$f(x)$を考える．

$f(x)={\log }_{e}x-c(x-1)$

ただし，$e$は自然対数の底である．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$は最大値を持つことを示せ．また，$f(x)$が最大になるときの$x$の値とそのときの$f(x)$の値を$c$を用いて表せ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた最大値を$m$とするとき，$c$の値によらず$m\geqq 0$であることを示せ．

(ⅲ)　すべての$x\text{（}x>0\text{）}$に対して，$f(x)\leqq 0$が成り立つときの$c$の値を求めよ．

(ⅳ)　すべての$x\text{（}x>0\text{）}$に対して

${\log }_{a}x-b(x-1)\leqq 0$

が成り立つときの，実数$a\text{（}a>1\text{）}$と$b\text{（}b>0\text{）}$が満たすべき関係式を求めよ．

【２】　実数$a\text{，}b\text{（}a>0\text{，}b>0\text{）}$に対して，点$(1,1)$を通る放物線$C:y=a{x}^2+b$と，放物線$C$の点$(1,1)$における接線$l$を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$b$を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　接線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(ⅲ)　放物線$C\text{，}$接線$l$および$y$軸で囲まれた図形のうち，$y\geqq 0$の部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(ⅳ)　$S$が最大になるときの$a$の値とそのときの$S$の値を求めよ．

【３】　数列$\left\{x_n\right\}$および$\left\{y_n\right\}$を$2\times 2$行列$M$により次の式で定める．

$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

$a>0\text{，}b>0\text{，}a+b<1$を満たす実数$a\text{，}b$に対して，行列$M$を，

$M=\left(\begin{array}{cc}1-a& 1-a-b\\ a& a+b\end{array}\right)$

で与える．$x_0=1\text{，}{y}_0=0$のとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，$x_n+y_n=1$が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　$n\geqq 1$のとき，$y_n$を$y_{n-1}\text{，}a\text{，}b$を用いて表せ．

(ⅲ)　$n\geqq 1$のとき，$x_n$を$x_{n-1}\text{，}a\text{，}b$を用いて表せ．

(ⅳ)　数列$\{x_n\}$および$\{y_n\}$の一般項を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(ⅴ)　原点を$\mathrm{O}\text{，}$座標$(x_n,y_n)$を表す点を${\mathrm{P}}_n$とするとき，$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n-1}$の面積を$S_n$とする．$L_n=S_1+S_2+\cdots +S_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n$を求めよ．

【４】　出席者$n$人の会議で，出席者のうち${\displaystyle \frac{2}{3}}$以上が議案に賛成する確率$T_n$と，${\displaystyle \frac{1}{2}}$以上が賛成する確率$H_n$を考える．各出席者が議案に賛成する確率を$p\text{（}0\leqq p\leqq 1\text{）}$とし，各出席者が賛成するかしないかは互いに独立であるとする．たとえば，$H_2=2(1-p)+p^2=2p-p^2$である．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，出席者は賛成するか賛成しないかのどちらかであるものとする．

(ⅰ)　$T_3$を求めよ．

(ⅱ)　$H_2\geqq T_3$を示せ．

(ⅲ)　差$H_2-T_3$が最も大きくなるときの$p$の値を求めよ．

(ⅳ)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$T_3\geqq T_6\geqq T_9$を示せ．

(ⅴ)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$H_{2k+1}\text{（}k\geqq 1\text{）}$を求めよ．