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2008-11001-0101
2008 札幌医科大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 空間内に 3 点 A( 1,3,- 1), B(- 1,2, 2), C(2 ,0,1 ) をとる.
(1) 三角形 ABC の面積を求めよ.
(2) ベクトル n→ =(1, a,b) が, 3 点 A ,B ,C を含む平面に対し垂直になるような,実数 a ,b を求めよ.
点 P( cos⁡θ, sin⁡θ, 0) を, xy 平面上の単位円周 S 上を動く点とする.ただし 0≦ θ<2⁢ π とする.
(3) 四面体 PABC の体積の最大値,およびそのときの θ の値を求めよ.
(4) 直線 AB ,AC が xy 平面と交わる点をそれぞれ R1 , R2 とする.単位円周 S 上の 2 点 P 1, P2 に対し, P1 P2 →= t⁢R 1R2 → をみたす実数 t が存在するならば, 2 つの四面体 P 1ABC と P 2ABC の体積は等しくなることを示せ.
2008-11001-0102
【2】 表の出る確率が p (0 <p<1 ) である 1 枚の硬貨を n 回投げるゲームを行う.このゲームにおいては,得点を以下のルールで得るものとする:
例えば,硬貨を 5 回投げたときに「表,裏,表,表,裏」の順に出たときは, 1 回目の試行で 0 点, 3 回目の試行で 1 点, 4 回目の試行で 2 点を得るので,総得点は 3 点となる.
(1) ゲームが終了したときに表が合計 m 回出たとする.このときの総得点を m を用いて表せ.
(2) ゲームが終了したときの総得点の期待値を n と p を用いて表せ.
2008-11001-0103
【3】 a>0 とする.放物線 y= a⁢x2 上 2 点 P( p,a⁢ p2) ,Q( q,a⁢ q2) は, PQ=2 をみたしながら動く.
(1) u=p+ q, v=p⁢ q とするとき, u ,v がみたす関係式を求めよ.
(2) 線分 PQ の中点を M とする.このとき,点 M の軌跡の方程式を求めよ.
(3) 点 M の y 座標が最小となるときの M の座標を求めよ.
2008-11001-0104
【4】 自然数 n に対し,関数 fn ⁡(x ) を fn⁡ (x)= log⁡x nn! で定義し,曲線 y= fn⁡ (x ) 上の点 ( e, 1n! ) における接線を ln とする.ただし,対数は自然対数とし, e はその底を表す.また数列 {a n} を a n=( -1) n⁢ ∫1e ⁡fn ⁡(x )⁢d x , 数列 { bn } を b 1=0 , bn = ∑k =1n -1 ⁡ (-1 )k+ 1( k+1) ! ( n≧ 2) で定義する.
(1) an を bn を用いて表せ.
(2) 曲線 y= fn⁡ (x ) と直線 ln は, 1≦x≦ e の範囲において, (e, 1 n! ) 以外に共有点を持たないことを示せ.
(3) 第 1 象限にあり, x 軸,曲線 y= fn⁡ (x ) , 直線 ln により囲まれる領域を, x 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を n と b 2⁢n を用いて表せ.