2008　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,3,-1)\text{，}\mathrm{B}(-1,2,2)\text{，}\mathrm{C}(2,0,1)$をとる．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{n}=(1,a,b)$が，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面に対し垂直になるような，実数$a\text{，}b$を求めよ．

　点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$を，$xy$平面上の単位円周$S$上を動く点とする．ただし$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(3)　四面体$\mathrm{PABC}$の体積の最大値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

(4)　直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$が$xy$平面と交わる点をそれぞれ${\mathrm{R}}_1\text{，}{\mathrm{R}}_2$とする．単位円周$S$上の$2$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$に対し，$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}=t\overrightarrow{{\mathrm{R}}_1{\mathrm{R}}_2}$をみたす実数$t$が存在するならば，$2$つの四面体${\mathrm{P}}_1\mathrm{ABC}$と${\mathrm{P}}_2\mathrm{ABC}$の体積は等しくなることを示せ．

【２】　表の出る確率が$p\text{（}0<p<1\text{）}$である$1$枚の硬貨を$n$回投げるゲームを行う．このゲームにおいては，得点を以下のルールで得るものとする：

• $\text{①}$　はじめの持ち点は$0$点である．
• $\text{②}$　各試行において，表が出たときは直前までに出た表の回数をそれまでの得点に加え，裏が出たときは得点に変化はない．

例えば，硬貨を$5$回投げたときに「表，裏，表，表，裏」の順に出たときは，$1$回目の試行で$0$点，$3$回目の試行で$1$点，$4$回目の試行で$2$点を得るので，総得点は$3$点となる．

(1)　ゲームが終了したときに表が合計$m$回出たとする．このときの総得点を$m$を用いて表せ．

(2)　ゲームが終了したときの総得点の期待値を$n$と$p$を用いて表せ．

【３】　$a>0$とする．放物線$y=a{x}^2$上$2$点$\mathrm{P}(p,a{p}^2)\text{，}\mathrm{Q}(q,a{q}^2)$は，$\mathrm{PQ}=2$をみたしながら動く．

(1)　$u=p+q\text{，}v=pq$とするとき，$u\text{，}v$がみたす関係式を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，点$\mathrm{M}$の軌跡の方程式を求めよ．

(3)　点$\mathrm{M}$の$y$座標が最小となるときの$\mathrm{M}$の座標を求めよ．

【４】　自然数$n$に対し，関数$f_n(x)$を$f_n(x)={\displaystyle \frac{{\log x}^n}{n!}}$で定義し，曲線$y=f_n(x)$上の点$(e,{\displaystyle \frac{1}{n!}})$における接線を$l_n$とする．ただし，対数は自然対数とし，$e$はその底を表す．また数列$\{a_n\}$を$a_n={(-1)}^n{\displaystyle {\int }_1^e}{f}_n(x)dx\text{，}$数列$\{b_n\}$を$b_1=0\text{，}{b}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k+1}}{(k+1)!}}\text{（}n\geqq 2\text{）}$で定義する．

(1)　$a_n$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　曲線$y=f_n(x)$と直線$l_n$は，$1\leqq x\leqq e$の範囲において，$(e,{\displaystyle \frac{1}{n!}})$以外に共有点を持たないことを示せ．

(3)　第$1$象限にあり，$x$軸，曲線$y=f_n(x)\text{，}$直線$l_n$により囲まれる領域を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$n$と$b_{2n}$を用いて表せ．