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2008-11311-0101
2008 横浜市立大 前期
医学部医学科
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) 関数
y=log⁡ (1+tan ⁡x) ( 0<x < π2 )
を微分せよ.
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(2) 定積分
I= ∫- 22 ⁡x4 ⁢4- x2 ⁢dx
を求めよ.
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(3) |a| ≠1 となる実数 a に対して,関数 fa ⁡(x ) を
fa⁡ (x)= 1 -a⁢x 1+a 2-2⁢ a⁢x +1+ a⁢x 1+a 2+2⁢ a⁢x ( -1≦ x≦1 )
で定義する.このとき fa ⁡(x ) の最大値を求めよ.
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【2】 実数を係数とする多項式 f⁡ (x) に対して以下の問いに答えよ.
(1) f⁡(x ) が
∫ -11 ⁡f⁡ (x)⁢ dx=0
をみたせば, f⁡(x )=0 となる x が区間 (-1 ,1) に存在することを示せ.
(2) f⁡(x ) が
∫ -11 ⁡f ⁡(x) ⁢dx= 0, ∫ -11 ⁡x ⁢f⁡( x)⁢d x=0
をみたせば, f⁡(x )=0 となる x が区間 (-1 ,1) に 2 個以上存在することを示せ.
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【3】 等式
x0 2-101 ⁢y0 2=20
をみたす自然数 x0 , y0 に対して,数列 {xn }, {yn }( n=1 ,2 ,3 ,⋯ ) を
( xn yn ) =( -10 1010 -10 )⁢ ( xn-1 yn-1 )
で定義する.以下の問いに答えよ.
(1) 等式
xn2 -101⁢ yn 2=20 ⁢(- 1)n
を示せ.
(2) 不等式
0<xk +101 ⁢yk <10+ 101
をみたす k (k =0 ,1 ,2 ,3 ,⋯ ) がただ一つ存在することを示せ.
(3) (2)の k は奇数であり,かつ xk および yk は
|xk |= 9, yk= 1
をみたすことを示せ.
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【4】 4 次方程式
x4- 20⁢x 2-8 ⁢2 ⁢x+32 =0(*)
のある解を見つけたい.以下の問いに答えよ.
(1) 方程式(*)は区間 (4, 5) に解をもつことを示せ.
(2) (1)での解をオイラー( Leonhard Euler )の方法で求めよう. p ,q , r を正の実数として
x=p +q+ r (p ,q ,r >0 )
とおく.まず補助変数 f ,g ,h
f=p+ q+r ,g=p ⁢q+p ⁢r+q ⁢r ,h=p ⁢q⁢r
を導入する. x2 ,x4 を計算して
x4- A⁢x 2-B ⁢x-C =0 (**)
としたとき, A ,B ,C を f ,g ,h を用いて表せ.次に(*)と(**)が同じ式と仮定して f ,g , h を求めよ.
(3) 等式
(X-p )⁢(X -q)⁢ (X-r )=X3 -f⁢ X2+g ⁢X-h
と(2)で得られた f ,g ,h を用いて 3 次方程式
X3- f⁡X 2+g ⁢X-h =0
の 3 つの解 p ,q ,r を求めよ.
(4) 方程式(*)の解
x=p +q+ r
を等式
α+β ±2⁢ α⁢β =( α ±β ) 2 (α , β>0 )
を用いて簡略化し,それが区間 (4, 5) にあることを示せ.