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2008 横浜市立大 前期

医学部医学科

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

(1) 関数

y=log (1+tan x) ( 0<x < π2 )

を微分せよ.

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【1】 以下の問いに答えよ.

(2) 定積分

I= - 22 x4 4- x2 dx

を求めよ.

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【1】 以下の問いに答えよ.

(3)  |a| 1 となる実数 a に対して,関数 fa (x )

fa (x)= 1 -ax 1+a 2-2 ax +1+ ax 1+a 2+2 ax -1 x1

で定義する.このとき fa (x ) の最大値を求めよ.

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【2】 実数を係数とする多項式 f (x) に対して以下の問いに答えよ.

(1)  f(x )

-11 f (x) dx=0

をみたせば, f(x )=0 となる x が区間 (-1 ,1) に存在することを示せ.

(2)  f(x )

-11 f (x) dx= 0 -11 x f( x)d x=0

をみたせば, f(x )=0 となる x が区間 (-1 ,1) 2 個以上存在することを示せ.

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【3】 等式

x0 2-101 y0 2=20

をみたす自然数 x0 y0 に対して,数列 {xn } {yn } n=1 2 3

( xn yn ) =( -10 1010 -10 ) ( xn-1 yn-1 )

で定義する.以下の問いに答えよ.

(1) 等式

xn2 -101 yn 2=20 (- 1)n

を示せ.

(2) 不等式

0<xk +101 yk <10+ 101

をみたす k k =0 1 2 3 がただ一つ存在することを示せ.

(3) (2)の k は奇数であり,かつ xk および yk

|xk |= 9 yk= 1

をみたすことを示せ.

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【4】  4 次方程式

x4- 20x 2-8 2 x+32 =0(*)

のある解を見つけたい.以下の問いに答えよ.

(1) 方程式(*)は区間 (4, 5) に解をもつことを示せ.

(2) (1)での解をオイラー( Leonhard Euler )の方法で求めよう. p q r を正の実数として

x=p +q+ r p q r >0

とおく.まず補助変数 f g h

f=p+ q+r g=p q+p r+q r h=p qr

を導入する. x2 x4 を計算して

x4- Ax 2-B x-C =0 (**)

としたとき, A B C f g h を用いて表せ.次に(*)と(**)が同じ式と仮定して f g h を求めよ.

(3) 等式

(X-p )(X -q) (X-r )=X3 -f X2+g X-h

と(2)で得られた f g h を用いて 3 次方程式

X3- fX 2+g X-h =0

3 つの解 p q r を求めよ.

(4) 方程式(*)の解

x=p +q+ r

を等式

α+β ±2 αβ =( α ±β ) 2 α β>0

を用いて簡略化し,それが区間 (4, 5) にあることを示せ.

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