2008　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問１　実数$x\text{，}y$に対し

$(1+x)(1+y)\leqq {(1+{\displaystyle \frac{x+y}{2}})}^2$

を示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか．

問２　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を$-1$以上の数とするとき

$(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)\leqq {(1+{\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4}})}^4$

を示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか．

【２】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BC}=2$である$▵\mathrm{ABC}$の外接円の面積を$S$とする．$\mathrm{AB}=t$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$S$を$t$を用いて表せ．

問２　$S\geqq \pi$を示せ．また，$S=\pi$となるときの$t$の値を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$のそれぞれの長さを$a\text{，}b\text{，}c$とする．

$K=2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}})$

とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=-a^2$を示せ．

問２　$K=-(a^2+b^2+c^2)$を示せ．

問３　$3K\leqq -{(a+b+c)}^2$を示せ．また，この不等式において等号が成立するとき，$▵\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．

【４】　$k$は定数とする．$f(x)=2x^3+3k{x}^2-6x-2k$は$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとるとする．次の問いに答えよ．

問１　$\alpha \beta$の値を求めよ．また，$\alpha +\beta$を$k$を用いて表せ．

問２　$f(x)$を${\displaystyle \frac{1}{6}}{f}^{\prime }(x)$で割った余りを求めよ．

問３　$f(\alpha )f(\beta )$を$k$を用いて表せ．

問４　$f(x)=0$は異なる$3$個の実数解をもつことを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

問１　$a$は実数とする．直線$y=ax$に関する対称移動を表す行列を求めよ．

問２　点$\mathrm{P}$を，直線$y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}x$に関して対称移動し，さらに直線$y=-3\sqrt{3}x$に関して対称移動したときの点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{Q}$に移す移動は，原点を中心とする回転であることを示し，その回転角を求めよ．

【２】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BC}=2$である$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r\text{，}$外接円の半径を$R$とする．$\mathrm{AB}=t$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$r$を$t$を用いて表せ．

問２　$R$を$t$を用いて表せ．

問３　${\displaystyle \frac{r}{R}}$の値が最も大きくなるときの$t$の値と，そのときの${\displaystyle \frac{r}{R}}$の値を求めよ．

【４】　$e$は自然対数の底とする．$f(x)=x(e-e^x)$とし，曲線$y=f(x)$の点$(1,0)$における接線の方程式を$y=g(x)$とする．$h(x)=g(x)-f(x)$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$g(x)$を求めよ．

問２　$0\leqq x\leqq 1$において，

$h^{\prime }(x)\leqq 0\text{，}h(x)\geqq 0$

が成り立つことを示せ．

問３　$0$でない実数$a$に対し，

${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^2{e}^{ax}dx$

を求めよ．

問４　$0\leqq x\leqq 1$の範囲において，$2$つの直線$y=g(x)\text{，}x=0$および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．