2008 大阪府立大学 中期

Mathematics

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2008 大阪府立大学 中期

工学部

易□ 並□ 難□

【1】  n を自然数とするとき,すべての正の数 x に対して

logx+ a xn >0

が成り立つための実数 a の範囲を n を用いて表せ.

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易□ 並□ 難□

【2】 定点 O を含む平面上に 4 辺の長さが

AB=BC= CD=r AD=2 r

の等脚台形 ABCD があり, 2 つの対角線の交点を E とする.

OA OB = 43 OA OC =12 3 OA OE =3 +8 3

が成り立つとき,次の問いに答えよ.

(1) ベクトル OE OA OC を用いて表せ.

(2) 線分 OA の長さを求めよ.

(3) 内積 OA AD OA AB を求めよ.

(4) ベクトル OA AD のなす角を θ とする.このとき, r の値および cos θ の値を求めよ.

((1),(2),(3)については計算の過程を記入しなくてよい.)

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【3】 座標平面上を移動するアリがいる.このアリは点 (a ,b) にいるとき, 1 秒後に点 (a+ 1,b) (a ,b+1 ) (a-1 ,b) (a ,b-1 ) のいずれかに移動し,それぞれの点に移動する確率は 14 である.このアリが原点 O を出発し, 2n+ m 秒後に点 (n ,n) にいる確率を P (m) とする.ここで, n m は非負の整数である.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  m=0 1 2 に対して,確率 P (m) をそれぞれ求めよ.

(2) 一般の非負の整数 m に対して,確率 P (m) を求めよ.なお, p q r を非負の整数とし, pq +r とするとき,

i=0 r Cq+ r-i p C ir = Cq+ r p+r

が成り立つことを用いてもよい.

((1)については計算の過程を記入しなくてよい.)

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【4】 座標平面上で

3x2 +4 y2= r2

の表す図形を C とし,また

cos( π xa ) +2sin 2 ( πy a) =1 |x |a | y| a

の表す図形を D とする.ここで r> 0 とし, a は正の定数とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 図形 D を図示せよ.

(2) 図形 C D が相異なる 12 個の共有点をもつとき,図形 C D を同一座標平面上に図示せよ.

(3) 図形 C D が相異なる 12 個の共有点をもつための r の範囲を a を用いて表せ.

((2),(3)については計算の過程を記入しなくてよい.)

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【5】  a を正の定数とする.自然数 n に対して,関数 In (t )

In (t)= 0t xn e-a x dx

と定めるとき,次の問いに答えよ.ただし, limt tn e-a t= 0 であることは証明なしに用いてもよい.

(1)  I1 (t) を求めよ.

(2)  In+ 1( t) In (t ) の関係式を求めよ.

(3) すべての自然数 n に対して, limt In (t) が存在することを数学的帰納法を用いて示せ.

(4)  Jn= limt In (t) とするとき, Jn を求めよ.