2008　大阪府立大学　中期MathJax

【１】　$n$を自然数とするとき，すべての正の数$x$に対して

$\log x+{\displaystyle \frac{a}{x^n}}>0$

が成り立つための実数$a$の範囲を$n$を用いて表せ．

【２】　定点$\mathrm{O}$を含む平面上に$4$辺の長さが

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=r\text{，}\mathrm{AD}=2r$

の等脚台形$\mathrm{ABCD}$があり，$2$つの対角線の交点を$\mathrm{E}$とする．

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4\sqrt{3}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=12\sqrt{3}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OE}}=3+8\sqrt{3}$

が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{OA}$の長さを求めよ．

(3)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を求めよ．

(4)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$r$の値および$\cos \theta$の値を求めよ．

（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【３】　座標平面上を移動するアリがいる．このアリは点$(a,b)$にいるとき，$1$秒後に点$(a+1,b)\text{，}(a,b+1)\text{，}(a-1,b)\text{，}(a,b-1)$のいずれかに移動し，それぞれの点に移動する確率は${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．このアリが原点$\mathrm{O}$を出発し，$2n+m$秒後に点$(n,n)$にいる確率を$P(m)$とする．ここで，$n\text{，}m$は非負の整数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$m=0\text{，}1\text{，}2$に対して，確率$P(m)$をそれぞれ求めよ．

(2)　一般の非負の整数$m$に対して，確率$P(m)$を求めよ．なお，$p\text{，}q\text{，}r$を非負の整数とし，$p\geqq q+r$とするとき，

${\displaystyle \sum _{i=0}^r}{}_{p}C_{q+r-i}\cdot {}_{r}C_i={}_{p+r}C_{q+r}$

が成り立つことを用いてもよい．

（(1)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【４】　座標平面上で

$3x^2+4y^2=r^2$

の表す図形を$C$とし，また

$\cos \left({\displaystyle \frac{\pi x}{a}}\right)+2{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{\pi y}{a}}\right)=1\text{，}|x|\leqq a\text{，}|y|\leqq a$

の表す図形を$D$とする．ここで$r>0$とし，$a$は正の定数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　図形$D$を図示せよ．

(2)　図形$C$と$D$が相異なる$12$個の共有点をもつとき，図形$C$と$D$を同一座標平面上に図示せよ．

(3)　図形$C$と$D$が相異なる$12$個の共有点をもつための$r$の範囲を$a$を用いて表せ．

（(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【５】　$a$を正の定数とする．自然数$n$に対して，関数$I_n(t)$を

$I_n(t)={\displaystyle {\int }_0^t}{x}^n{e}^{-ax}dx$

と定めるとき，次の問いに答えよ．ただし，$\underset{t\to \infty }{\lim }{t}^n{e}^{-at}=0$であることは証明なしに用いてもよい．

(1)　$I_1(t)$を求めよ．

(2)　$I_{n+1}(t)$と$I_n(t)$の関係式を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，$\underset{t\to \infty }{\lim }{I}_n(t)$が存在することを数学的帰納法を用いて示せ．

(4)　$J_n=\underset{t\to \infty }{\lim }{I}_n(t)$とするとき，$J_n$を求めよ．