2008　東北学院大学　前期文系全学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x+y=3\text{，}{x}^2+y^2=7$のとき，$x^3+y^3$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　$(x+2y)(x-y)+3y-1$を因数分解せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅲ)　不等式$|x-a|<b$の解が$-1<x<7$となるように，定数$a\text{，}b$の値を定めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅳ)　$2$次不等式$2x^2-2cx+x-c\leqq 0$を満たす整数$x$がちょうど$3$個存在するように，定数$c$の値の範囲を定めよ．

【２】　円$O$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{BAD}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{ABC}=\beta$とする．

$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=\sqrt{5}\text{，}\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}\cos \beta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$

であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　円$O$の半径$R$を求めよ．

(ⅱ)　対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．

【３】　$a$を実数の定数とする．$2$つの$3$次方程式

$x^3+x^2+ax-a=0\text{，}{x}^3+2x+a=0$

が共通な解を少なくとも$1$つもつように，定数$a$の値を定めよ．またそのときの共通解を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　方程式$2^{2x+1}+11(1-2^x)+2(1-2^{1-x})=0$を解け．

【４】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　不等式${\log }_2(5-x)\leqq 1-{\log }_{\frac{1}{4}}(2x+11)$を解け．

【５】　$m\text{，}n$を自然数とする．次を証明せよ．

(ⅰ)　$m$が$3$の倍数であることは，$m^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である．

(ⅱ)　$m^2=27n+18$を満たす$m\text{，}n$は存在しない．

【６】　$▵\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(ⅱ)　$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=6\text{，}\mathrm{OE}=2\sqrt{2}$のとき，線分$\mathrm{AE}$の長さと$▵\mathrm{OAB}$の面積を，それぞれ求めよ．