2008　学習院大学　理学部MathJax

【１】　放物線$C:y=x^2+bx+c$は$x$軸と相異なる$2$点で交わるとし，その交点を左から順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．$x$軸上で$\mathrm{B}$の右にある点$\mathrm{P}(t,0)$から，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の間にある$C$の部分に接線をひき，その接点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき

${\mathrm{RP}}^2=\mathrm{AP}\cdot \mathrm{BP}$

を証明せよ．

　ただし，$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線の足とは，$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に垂直な直線と$x$軸との交点のことである．

【２】　空間の定点$\mathrm{O}$と$4$点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4$に対し，点$\mathrm{G}$を次式で定める．

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{1}{4}}(\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_4})$

空間の点$\mathrm{P}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{PG}}\right|=1$を満たすとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^4}{|\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{A}}_k}|}^2-{\displaystyle \sum _{k=1}^4}{|\overrightarrow{\mathrm{G}{\mathrm{A}}_k}|}^2=4$

を示せ．

【３】　楕円$C:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}=1$上の$x$軸上にない点$\mathrm{P}$における$C$の法線$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}(z,0)$とする．$x$軸上にない点$\mathrm{P}$が$C$上を動いて点$\mathrm{A}(a,0)$に限りなく近づくとき，$z$の極限値を求めよ．

　ただし，$\mathrm{P}$における$C$の法線とは$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線と直交する直線のことである．

【４】　$a\text{，}b$を実数とし，関数$y=e^{a+b{x}^2}$のグラフを$C$とする．

(1)　$C$が点$\mathrm{P}(1,1)$を通り，$\mathrm{P}$での$C$の接線の傾きが$-2$となる$a\text{，}b$を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$が(1)で求めた値であるとき，放物線$y=x^2$と曲線$C$とで囲まれた図形のうち$y$軸の右側にある部分を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．