2008　学習院大学　法学部MathJax

【１】　半径がそれぞれ$1\text{，}1\text{，}\sqrt{2}-1$である$3$つの円が，右の図のように，どの$2$つもたがいに外接しているとする．$3$つの円で囲まれた図形（図の斜線部分）の面積を求めよ．

【２】　$n\geqq 2$とし，$1$から$n$までの番号を$1$つずつかいた$n$個の球が入った袋から$2$個の球を取り出し，最初に取り出した球にかかれた番号を$a\text{，}2$番目に取り出した球にかかれた番号を$b$とする．ただし，取り出した球は袋に戻さない．

　このとき，$a>b$のときは$a-b$を得点とし，$a<b$のときは$0$を得点とする．

(1)　得点が$1$となる確率を求めよ．

(2)　得点が$0$となる確率を求めよ．

(3)　得点の期待値を求めよ．

【３】　$3$次式$f(x)$を$x^2+x+1$で割ったときの余りが$x+1$で，$x^2+1$で割ったときの余りが$x-1$であるとする．このとき，$f(x)$を求めよ．

【４】　$k$を正の定数として，$f(x)=x^2(1-x)\text{，}g(x)=k(1-x)$とする．関数$h(x)$を

$h(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{（}f(x)\leqq g(x)\text{のとき）}\\ g(x)& \text{（}f(x)>g(x)\text{のとき）}\end{array}$

と定める．

(1)　関数$f(x)$が極大となる$x$を求めよ．

(2)　関数$h(x)$が極大となる$x$を求めよ．