2008　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　放物線$y=x^2+ax-2$の頂点が直線$y=2x-1$上にあるとき，定数$a$の値は$a=\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　方程式${\log }_{81}x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$を解くと，解は$x=\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　直線$4x+3y=8$が円$x^2+y^2-2x+4y-4=0$によって切り取られてできる線分の長さは$\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　${(3x^2+x-2)}^5$の展開式における$x^6$の係数は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)　$-4\leqq p\leqq 6$かつ$-4\leqq q\leqq 6$を満たす整数の組$(p,q)$のうち，$2$次方程式$x^2+px+q=0$が異なる$2$つの正の解をもつような組$(p,q)$は全部で$\boxed{\text{(オ)}}$個ある．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　次の数列の第$n$項を$a_n$とする．

$1\text{，}1\text{，}2\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}1\text{，}\cdots$

　このとき，$a_{450}=\boxed{\text{(カ)}}$である．また，自然数$m$に対して，$a_n=m$となる最小の自然数$n$を$m$を用いて表すと$n=\boxed{\text{(キ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　正の実数$a$に対して，傾きが$-a$で点$(4,3)$を通る直線を$l$とする．また，直線$l\text{，}x$軸，$y$軸で囲まれた三角形の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表すと$S=\boxed{\text{(ク)}}$である．また$a$が正の実数全体を動くとき$S$の最小値は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　関数$y=2\sin x+3\cos x$の$0\leqq x\leqq \pi$における最大値は$\boxed{\text{(コ)}}$であり，最小値は$\boxed{\text{(サ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_3^x}(x+3t)(x-t)dt$を$x$の式で表すと$f\left(x\right)=\boxed{\text{(シ)}}$である．また，関数$f(x)$の$-4\leqq x\leqq 4$における最大値は$\boxed{\text{(ス)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)(ⅰ)　$2008$は，ちょうど$3$種類の数字を用いて表せる$4$桁の自然数である．（実際に$2008$は$0\text{，}2\text{，}8$の$3$種類の数字を用いて表せる．）このように，ちょうど$3$種類の数字を用いて表せる$4$桁の自然数は全部で$\boxed{\text{(セ)}}$個ある．

(ⅱ)　$2008$は，各位の数字の和が$10$になる$4$桁の自然数である．（実際に$2008$の各位の数字の和は$2+0+0+8=10$である．）このように，各位の数字の和が$10$になる$4$桁の自然数は全部で$\boxed{\text{(ソ)}}$個ある．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

　平面上に平行四辺形$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{P}$があり，$4\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3\overrightarrow{\mathrm{BP}}+2\overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{0}$が成り立っているとする．

　このとき$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{(タ)}}$と表せる．これより，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$として，$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=s\overrightarrow{\mathrm{BD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$とすると，$s=\boxed{\text{(チ)}}\text{，}t=\boxed{\text{(ツ)}}$である．

　また，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S\text{，}$三角形$\mathrm{PQB}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{PCD}$の面積を$S_2$とすると，${\displaystyle \frac{S_1}{S}}=\boxed{\text{(テ)}}\text{，}{\displaystyle \frac{S_2}{S}}=\boxed{\text{(ト)}}$である．

【４】　関数$f(x)$を$f(x)=|x^2-4|-3x$で定める．次の問いに答えなさい．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．

(3)　関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x+k$の共有点の個数が$4$個であるように，定数$k$の値の範囲を求めなさい．

【５】　$3$辺の長さが相異なる自然数である三角形について考える．この三角形の$3$辺の長さを$a\text{，}b\text{，}c\text{（}a<b<c\text{）}$とし，三角形の周の長さを$l$とする．また，三角形の面積を$S$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　この三角形の最も大きい角の大きさを$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表しなさい．

(2)　上の(1)を利用して，次の関係式が成り立つことを示しなさい．

$16S^2=l(l-2a)(l-2b)(l-2c)$

(3)　$S$が自然数であるとき，$l$は偶数であることを示しなさい．

(4)　$S=6$となる組$(a,b,c)$を求めなさい．

(5)　$S$の値が互いに異なる$2$つの素数の積になるのは，$S=6$の場合に限ることを示しなさい．