2008　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】

(1)　ある自然数$n$に対して$2^n$は$22$桁で最高位の数字が$4$となります．

${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{1}3=0.4771$

として計算すると，$n=\boxed{\text{(1)}}\boxed{\text{(2)}}$となります．また$2^n$の末尾の数字は$\boxed{\text{(3)}}$であることがわかります．

【１】

(2)　実数$m$を定数とします．$x$と$y$に関する連立$1$次方程式

$\{\begin{array}{l}2x+y-2=0\\ mx-y-3m+1=0\end{array}$

が$x>0$かつ$y>0$である解をもつための必要十分条件は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}}\boxed{\text{(5)}}}{\boxed{\text{(6)}}\boxed{\text{(7)}}}<m<\frac{\boxed{\text{(8)}}\boxed{\text{(9)}}}{\boxed{\text{(10)}}\boxed{\text{(11)}}}}$

です．

【２】　$2n$個の変数$a_1\text{，}{b}_1\text{，}{a}_2\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}{b}_n$が$0$または$1$の値をとります．このとき

$a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{b}_n$

が偶数となる場合の数を$A_n\text{，}$奇数となる場合の数を$B_n$とします．例えば$n=1$の場合は

$(a_1,b_1)=(0,0)\text{，}(0,1)\text{，}(1,0)$

の$3$通りの場合に$a_1{b}_1$が偶数になりますから，$A_1=3$です．同様に$B_1=1$もわかります．$A_n$と$B_n$は$A_{n-1}$と$B_{n-1}$を用いて

$\{\begin{array}{l}{A}_n=\boxed{\text{(12)}}{A}_{n-1}+\boxed{\text{(13)}}{B}_{n-1}\\ B_n=\boxed{\text{(14)}}{A}_{n-1}+\boxed{\text{(15)}}{B}_{n-1}\end{array}$

と表すことができます．ここで$A_n\pm B_n$を考えると

$A_n+B_n=\boxed{\text{(16)}}\times {\boxed{\text{(17)}}}^{n-1}\text{，}{A}_n-B_n=\boxed{\text{(18)}}\times {\boxed{\text{(19)}}}^{n-1}$

と求まります．このことから

$A_n=({\boxed{\text{(20)}}}^n+\boxed{\text{(21)}})\times {\boxed{\text{(22)}}}^{n-1}$

であることが従います．

【３】　座標空間の原点$\mathrm{O}(0,0,0)$および$3$点$\mathrm{A}(1,3,2)\text{，}\mathrm{B}(2,1,1)\text{，}\mathrm{C}(-1,-1,2)$を考えます．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とすると${\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(23)}}\boxed{\text{(24)}}}{\boxed{\text{(25)}}\boxed{\text{(26)}}}}$となります．このことから$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S$とすると

$S^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(27)}}\boxed{\text{(28)}}}{\boxed{\text{(29)}}\boxed{\text{(30)}}}}$

と計算されます．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\boxed{\text{(31)}},-\boxed{\text{(32)}})$は

$\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

を満たします．さらに$\overrightarrow{v}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積が$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\boxed{\text{(33)}}\boxed{\text{(34)}}$であることから，$▵\mathrm{OAB}$を含む平面と点$\mathrm{C}$との距離$h$は

$h^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(35)}}\boxed{\text{(36)}}}{\boxed{\text{(37)}}\boxed{\text{(38)}}}}$

を満たします．以上から$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を頂点とする三角すいの体積$V$は

$V={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(39)}}\boxed{\text{(40)}}}{\boxed{\text{(41)}}\boxed{\text{(42)}}}}$

と計算されます．

(3)　条件

$3\alpha +{\displaystyle \frac{1}{4}}\beta +5\gamma \leqq 1\text{，}\alpha \geqq 0\text{，}\beta \geqq 0\text{，}\gamma \geqq 0$

を満たす実数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{OC}}$

と表される点$\mathrm{P}$の全体が作る立体を$E$とします．$E$の体積は$V$の${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(43)}}\boxed{\text{(44)}}}{\boxed{\text{(45)}}\boxed{\text{(46)}}}}$倍となります．

【４】　正数$a\text{，}b\text{，}x\text{，}y$を考えます．$a+b=1$ならば，すべての自然数$n$に対して不等式

${(ax+by)}^n\leqq a{x}^n+b{y}^n$

が成立することを証明してください．

【５】　関数

$y=x^3+1$

のグラフを曲線$C$とします．正数$t>0$に対して$C$上の点$\mathrm{P}(t,t^3+1)$を定め，$\mathrm{P}$における$C$の接線$l_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とします．次に，$C$上に$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$を，$\mathrm{Q}$における$C$の接線$l_2$が$\mathrm{P}$を通るようにとります．そして$l_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{S}$とします．

(1)　$▵\mathrm{PRS}$の面積を$t$で表しましょう．

(2)　(1)で考えた$▵\mathrm{PRS}$の面積の最小値を求めましょう．

【６】　関数$F(t)$を

$F(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-2tx|dx$

によって定義します．

(1)　実数$t$で場合分けをして$F(t)$を$t$の式で表しましょう．

(2)　$t$が$-1\leqq t\leqq 1$の範囲を動くときの$F(t)$の最大値と最小値を求めましょう．