2008 慶応義塾大学 環境情報学部MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2008 慶応義塾大学 環境情報学部

2月20日実施

易□ 並□ 難□

【1】 座標平面上の 3 A( -2,0 ) B(2 ,0) C( 1,4) が与えられ,点 P Q R をそれぞれ辺 AB BC CA 上の点とする.

t= APAB u= BQ BC v= CR CA

としたとき, PQR R を直角の頂点とする直角二等辺三角形になるには

u- (1) v+ (2) =0 (3) t - (4) u -v+1 =0

となることが必要である.このとき PQR の面積は

t= (5) (6) (7) (8)

のとき最小になる.

2008 慶応義塾大学 環境情報学部

2月20日実施

易□ 並□ 難□

【2】  2 つの自然数 a b の関係 a b を次のように定める.素数を小さい順に p 1=2 p2 =3 p 3=5 とし, a b の素因数分解を

a=p 1i1 p2i 2 pm im b =p1 i1 p2 j2 pn jn

と表す.ただし ik 1 km j l 1 ln 0 以上の整数とし, im 0 j n0 である.以下では i 0=i m+1 =i m+2 ==0 j0 =jn +1= jn+ 2= =0 とする.ここで次のいずれかの条件が満たされるとき a b とする.

このとき b に関して a より大きいという. 2N 50 なる自然数 N に関して最大の数は (9) (10) であり, に関して小さいほうから 10 番目の数は (11) (12) である.

2008 慶応義塾大学 環境情報学部

2月20日実施

【3-2】との選択

易□ 並□ 難□

【3-1】  A B C はいずれも原点でないとする. ABC の頂点 A B C の位置ベクトルを a b c とする. ABC に含まれる点 P の位置ベクトル p

p = (14) (15) a + 12 b+ 13 c

であるとき, AP の延長と BC との交点を Q とすると

BQ QC= (16) (17) (18) (19)

である.

2008 慶応義塾大学 環境情報学部

2月20日実施

【3-1】との選択

易□ 並□ 難□

【3-2】 次の 2 つのプログラムは 2 つの自然数 A ,B を入力したとき,ある自然数 N を出力する. 2 つのプログラムで同じ N が出力されるように 2 つ目のプログラムを完成させなさい.プログラムの中の空欄には選択肢から最も適切なものを選びその番号を答えなさい.

プログラム 1

プログラム 2

[選択肢]



2008 慶応義塾大学 環境情報学部

2月20日実施

易□ 並□ 難□

【4】  a b 2 以上の自然数とするとき

a( aa ) =bb

となる a b は存在しないことを示す.以下の証明の空欄に選択肢から最も適切なものを選びその番号を解答欄に記入しなさい.

 証明:存在を仮定して矛盾を導く. b=ax x> 0 と表すと b b= (ax ) ( ax) = ax ax より

aa= (34) (35) ax =x (36) (37)

となる.これより x (38) (39) であることが分かる.

(a-1 )a (a- 1)= (1 -1 a) aa <aa <a aa

であるので

( aa -1 ) (a a-1 ) <b (40) (41) < (a (42) (43) ) ( aa )

となる. f(t )=tt t 2 が単調増加であることに注意すれば

a (44) (45) <b< a (46) (47)

となる.よって

(48) (49) <x< (50) (51)

となり x (52) (53) でない.ところで x および a- x (38) (39) であることから,互いに素な整数 p q q 0 および m n n0 がとれて

pq= x=a a-x =a mn

と書ける.したがって am = pnq n となり, q= (54) (55) となる. x (56) (57) となり先ほどの結果と矛盾する.

[選択肢]



2008 慶応義塾大学 環境情報学部

2月20日実施

易□ 並□ 難□

2008年度慶応義塾大環境情報学部【5】の図

【5】 図のような xy 平面上を動く産業用ロボットアームがある.アームの長さをそれぞれ l 1=2 l2 = 22 とし,アームの角度 α β を反時計まわりに図のように定める.いまアームの角度は時刻 t とともに α =πt β=k πt と変化し, t 0 t2 を動く.

k=1 のとき点 P y 軸上にのるのは (58) 回である.また k= 2 のとき,点 P y 軸上にのるとき, t

(59) (60) ( cosπ t) 3-cos πt =0

を満たす.このことから点 P y 軸上にのるのは (61) 回である.

inserted by FC2 system