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2008-13363-0201
2008 上智大学 文(哲),総合人間(教育,社福),
外国語(英語以外)学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 座標平面の 1≦ x≦4 ,1≦y ≦4 の範囲にある x 座標も y 座標も整数である点 (x, y) 全体の集合を U とし, U の部分集合 A ,B を
で定める.このとき,全体集合 U に関する A の補集合 A ‾ の要素の個数は ア 個であり, A‾ ∩B の要素の個数は イ 個である.
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(2) 1 ,1 ,2 ,2 ,3 ,3 の 6 つの数字をすべて使って 6 桁の整数を作る.このような 6 桁の整数は全部で ウ 個あり,このうち 220000 より大きいものは エ 個ある.
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(3) (a+ b+c+ d+e) 3 を展開して同類項をまとめてできる項の個数は オ 個である.
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(4) 自然数 p ,q は p+ q=100 を満たし, 1 以外に公約数を持たないとする.有理数 x= q p の平方根 x の小数第 2 位以下を切り捨てると 1.5 となる.このとき, x= カ キ である.
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【2】 0≦θ≦ π である θ について,
とおく.
(1) A のとり得る整数の値は ク , ケ , コ である.ただし, ク < ケ < コ とする.
(2) B のとり得る整数の値は サ , シ である.ただし, サ< シ とする.
(3) x についての 2 次方程式
x2- A⁢x+ B=0
が 2 つの整数解 α ,β (α <β ) をもつとする.このとき,
θ= ス セ ⁢π ,α = ソ ,β = タ
または
θ= チ ツ ⁢π ,α = テ ,β = ト
である.ただし, ス セ < チ ツ とする.
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【3】 a を実数とし,座標平面上の放物線 C a:y= 14 ⁢x 2-a ⁢x+a 2+a -2 および C: y=- 14 ⁢ x2+ 2 を考える.
(1) Ca の頂点は直線 y= ナ ニ ⁢x + ヌ 上にある.
(2) a=3 のとき, C と Ca の両方に同時に接する直線は 2 つあり,その傾きは
12 ⁢ ( ネ± ノ ) ,
その 2 直線の交点の座標は ( ハ , ヒ フ ) である.
(3) C と Ca が異なる 2 点で交わるのは ヘ< a< ホ のときである.このとき, C と Ca で囲まれる図形の面積を S とすると
S= 23⁢ ( マ ⁢a 2+ ミ⁢ a+ ム ) 3
であり, S は a= メ のとき最大値 モ をとる.