2008　上智大学　総合人間，法学部2月8日実施

【１】

(1)　${\alpha }_1=\sqrt{5}-\sqrt{2}$は$4$次方程式$x^4+p{x}^2+q=0$の解である．ただし，$p\text{，}q$は整数とする．このとき，$p=\boxed{\text{ア}}\text{，}q=\boxed{\text{イ}}$である．この方程式の${\alpha }_1$と異なる$3$つの解を${\alpha }_2\text{，}{\alpha }_3\text{，}{\alpha }_4$とすると

${\displaystyle \frac{1}{{{\alpha }_1}^2}+\frac{1}{{{\alpha }_2}^2}+\frac{1}{{{\alpha }_3}^2}+\frac{1}{{{\alpha }_4}^2}=\frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

【１】

(2)　$x$の整式$A=x^4+a{x}^2+b$と$B=x^2+ax+b$を考える．ただし，$a\text{，}b$は実数である．$A$を$B$で割った余りを$cx+d$とおくと

• $c=a(\boxed{\text{オ}}{a}^2+\boxed{\text{カ}}a+\boxed{\text{キ}}b)$
• $d=b(\boxed{\text{ク}}b+\boxed{\text{ケ}}{a}^2+\boxed{\text{コ}}a+\boxed{\text{サ}})$

である．

　$A$が$B$で割り切れるとき，$b\ne 0$とすると，$a$は$\boxed{\text{シ}}\text{，}\boxed{\text{ス}}\text{，}\boxed{\text{セ}}$のいずれかである．ただし，$\boxed{\text{シ}}<\boxed{\text{ス}}<\boxed{\text{セ}}$である．

【２】　座標平面上の放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{（}a>0\text{）}$と原点$\mathrm{O}$を結ぶ直線を$l$とし，$\mathrm{A}$における$C$の接線を$k$とする．

(1)　$k$と$l$のなす角を$\theta$とする．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．このとき

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}a}{1+\boxed{\text{タ}}a+\boxed{\text{チ}}{a}^2}}$

である．また，$\tan \theta$は$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$のとき，最大値${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$をとる．

(2)　$k$に関して$l$と対称な直線を$l^{\prime }$とし，$l^{\prime }$と$x$軸のなす角を$\alpha$とする．ただし，$0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．このとき

$\tan \alpha =\boxed{\text{ニ}}{a}^3+\boxed{\text{ヌ}}{a}^2+\boxed{\text{ネ}}a+\boxed{\text{ノ}}$

である．

(3)　$C$上の$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{P}(p,p^2)$と$\mathrm{A}(a,a^2)\text{（}a>0\text{）}$を結ぶ直線を$m$とする．$k$に関して$m$と対称な直線が$y$軸と平行になるとき，

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}{a}^{-1}$

である．

【３】　下の図$\text{①}$のように座標平面の$0\leqq x\leqq 4\text{，}0\leqq y\leqq 4$の範囲で$x$座標も$y$座標も整数である$25$個の点を考える．それぞれの点の座標を書いた$25$枚のカードから$1$枚を引き，点を$1$つ選ぶ．カードをもどし，再び$25$枚のカードから$1$枚を引き，点を$1$つ選ぶ．こうした試行を$4$回行う．この結果選ばれた点で凸四角形ができるとは，これらの点がある四角形の$4$つの頂点であり，どの$1$点も残りの$3$点でできる三角形の外部にあることとする．図$\text{②}$は凸四角形，図$\text{③}$は凸四角形ではない．

(1)　$3$点$(0,0)\text{，}(2,4)\text{，}(4,1)$が選ばれているとき，もう$1$回の試行で凸四角形ができる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．

(2)　$3$点$(1,1)\text{，}(3,3)\text{，}(4,2)$が選ばれているとき，もう$1$回の試行で凸四角形ができる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．

(3)　$2$点$(2,1)\text{，}(2,3)$が選ばれているとき，あと$2$回の試行で長方形ができる確率は${\displaystyle \frac{a}{125}}$である．ただし，$a=\boxed{\text{ミ}}$である．

(4)　$2$点$\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}(2,4)$が選ばれているとき，あと$2$回の試行で直線$\mathrm{AB}$に関して対称な凸四角形ができる確率は${\displaystyle \frac{b}{625}}$である．ただし，$b=\boxed{\text{ム}}$である．また，直線$\mathrm{AB}$に関して対称でない凸四角形ができる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}$である．