2008　上智大学　理工学部A方式2月12日実施MathJax

【１】　$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$は時刻$t$の関数として，$t\geqq 0$のとき，

$\{\begin{array}{l}x=e^t\cos \pi t\\ y=e^t\sin \pi t\end{array}$

で表される．

(1)　時刻$t=1$における点$\mathrm{P}$の速度を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$の速度の$x$成分が$0$になる時刻$t$のうち，$t>0$で，もっとも$0$に近いものを$t_0$とするとき，$\sin \pi t_0\text{，}\cos \pi t_0$を求めよ．

(3)　$0<t\leqq 2$において，点$\mathrm{P}$の速度の$x$成分が$0$になる時刻をすべて求め，$t_0$を用いて表せ．

(4)　$0<t\leqq 2$において，点$\mathrm{P}$の速度の$y$成分が$0$になる時刻をすべて求め，$t_0$を用いて表せ．

(5)　$0\leqq t\leqq 2$のとき，点$\mathrm{P}$は平面上にどのような曲線を描くか．概形を図示せよ．解答用紙には概形とともに，(3)と(4)で求めた時刻における点$\mathrm{P}$のおよその位置および曲線と座標軸との交点の座標も記入すること．

【２】　$xy$平面上の双曲線

${\displaystyle \frac{x^2}{2}}-y^2=1$

を考える．

(1)　点$\mathrm{A}(0,1)$を通り，かつ，この双曲線と共有点を$1$つしかもたない直線のうち，傾きが負であるものは，

$l:y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}x+\boxed{\text{ウ}}$

と

$m:y=-\boxed{\text{エ}}x+\boxed{\text{オ}}$

である．ただし，${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}<\boxed{\text{エ}}$とする．また，$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$とすると$\mathrm{B}(\sqrt{\boxed{\text{カ}}},0)$であり，$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{C}$とすると$\mathrm{C}(\boxed{\text{キ}},0)$である．

(2)　$a\text{，}b$を定数とする．点$\mathrm{P}(a,b)$が$\mathrm{PA}=\mathrm{PC}$かつ${\mathrm{PB}}^2=2{\mathrm{PA}}^2$を満たすとする．このとき

$a=\boxed{\text{ク}}\text{または}a=\boxed{\text{ケ}}-\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$

であるただし，$\boxed{\text{ク}}<\boxed{\text{ケ}}-\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$とする．

【３】　空間内に$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=k$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\boxed{\text{サ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{QC}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{タ}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{QC}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|}=\frac{\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QC}}$が直交するとき，$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

(3)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が同一平面上にあるとき，

$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}(1\pm \sqrt{\boxed{\text{ヌ}}})$

である．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．集合$\mathrm{A}=\{1,2,3\}$と集合$\mathrm{B}=\{4,5,6\}$から次の$2$つの規則で有限数列$a_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$をつくる．

• 規則１：$a_1\in \mathrm{A}$である．
• 規則２：$j=1\text{，}\cdots \text{，}n-1$に対し，$a_j$が偶数ならば$a_{j+1}\in \mathrm{B}$であり，$a_j$が奇数ならば$a_{j+1}\in \mathrm{A}$である．

(1)　$n=2$のとき，数列$a_1\text{，}{a}_2$は全部で$\boxed{\text{ネ}}$通りある．その中で$a_2$が奇数になる数列$a_1\text{，}{a}_2$は全部で$\boxed{\text{ノ}}$通りある．

　$n=3$のとき，$a_3$が奇数になる数列$a_3\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$は全部で$\boxed{\text{ハ}}$通りある．

(2)　一般の$n$に対し，数列$a_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$は全部で${\boxed{\text{ヒ}}}^n$通りある．その中で$a_n$が奇数になる数列は全部で

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}({\boxed{\text{ホ}}}^n+\boxed{\text{マ}})$

通りある．

(3)　$n$を固定し，$j=1\text{，}\cdots \text{，}n$とする．数列$a_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$の中で$a_j$が奇数になる数列は全部で$k_j$通りであるとする．このとき

${\displaystyle \sum _{j=1}^n}{k}_j=\left({\displaystyle \frac{n}{\boxed{\text{ミ}}}+\frac{1}{\boxed{\text{ム}}}}\right)\cdot {\boxed{\text{メ}}}^n-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{モ}}}}$

である．