2008　聖母大学　看護学部MathJax

【１】　$a$は実数の定数とし，$x$を変数とする二次関数$f(x)=x^2-2ax-a-1$を考える．

(1)　$a=1$のとき，$f(x)=0$となる$x$は$2$つある．

　そのうち小さい方の値は$\boxed{\text{ア}}-\sqrt{\boxed{\text{イ}}}$である．

　また，$f(x)<0$となる$x$のうち，整数であるものは全部で$\boxed{\text{ウ}}$個ある．

(2)　引き続き$a=1$のときを考える．

　$y=f(x)$のグラフの頂点の座標は$(\boxed{\text{エ}},-\boxed{\text{オ}})$となる．

　$y=f(x)$のグラフを原点について点対称移動したグラフを持つ関数を$g(x)$とする．$g(x)$は二次関数で，頂点の座標は$(-\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})$であり，$x^2$の係数は$\mathrm{-1}$なので，$g(x)=-x^2-\boxed{\text{ク}}x+\boxed{\text{ケ}}$となる．

(3)　以下では$a$が一般の値の場合を考える．

　$y=f(x)$のグラフを$C\text{，}C$を原点について対称移動したグラフを持つ関数を$g(x)$とし，$y=g(x)$のグラフを$D$とする．

　$C$と$D$が異なる$2$つの共有点を持つような$a$の値の範囲は

$a>-\boxed{\text{コ}}$

である．

　$a$がこの範囲を動くとき，$2$つの共有点の$x$座標の値の差が$\sqrt{2}+\sqrt{10}$になるのは$a=\boxed{\text{サ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$のときである．

【２】　$1$回買ったときの当たる確率が${\displaystyle \frac{1}{3}}$であるようなくじがあるとする．

(1)　当たる確率が${\displaystyle \frac{1}{3}}$なのだから，このくじを$3$回買えば少なくとも$1$回は当たる，という考え方は誤りである．

　実際，このくじを$3$回買って$1$回も当たらない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$である．ゆえに，このくじを$3$回買ったときに少なくとも$1$回は当たっている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$である．

(2)　このくじを$4$回買ったとき，その$4$回のうち当たった回数がちょうど$1$回となるような確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．

(3)　$n$を自然数とする．

　このくじを$n$回買ったときに少なくとも$1$回は当たる確率が$90\%$を超えるようにしたい．そのような$n$のうち，最小のものは$n=\boxed{\text{シ}}$である．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{CA}=3$であるという．$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする．

(1)　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{15}}\text{，}\sin \theta ={\displaystyle \frac{2\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}{15}}$である．

　このことより，$\theta$の大きさに関して$\boxed{\text{オ}}$であることが分かる．

　$\boxed{\text{オ}}$に関しては以下の選択肢から正しいものをひとつ選べ．必要なら以下の数表を参考にせよ．

$\text{1.}0°\leqq \theta \leqq 30°$$\text{2.}30°\leqq \theta \leqq 45°$$\text{3.}45°\leqq \theta \leqq 60°$$\text{4.}60°\leqq \theta \leqq 90°$

$\theta °$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\cos \theta °$	$1.0000$	$0.8660$	$0.7071$	$0.5000$	$0.0000$

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キク}}}$である．

　また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の直径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}}{28}}$である．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AP}=5$となるように取る．ただし，点$\mathrm{P}$は円弧$\mathrm{AB}$（点$\mathrm{C}$を含まない方のもの）上に取るものとする．四角形$\mathrm{APBC}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外接円に内接していることに着目すると，

$\cos \angle \mathrm{APB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{15}}$

である．

　これより$\mathrm{BP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{3}}$である．

【４】　$x\text{，}y\text{，}z$はそれぞれ正の整数であり，どの$2$つも等しくないものとする．$x\text{，}y\text{，}z$に関する以下の$4$つの命題$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を考える．

• $\mathrm{A}:x\text{，}y\text{，}z$のうち最大のものは$z$である．
• $\mathrm{B}:x+y=z$である．
• $\mathrm{C}:z-y=y-x$である．
• $\mathrm{D}:$ある正の整数$w$が存在して$z=xw$が成立する．

(1)　$(x,y,z)=(7,12,17)$の場合，上の命題のうち真となるものは全部で$\boxed{\text{ア}}$個ある．

(2)　命題$\mathrm{A}$は命題$\mathrm{B}$の$\boxed{\text{イ}}$．

　$\boxed{\text{イ}}$は以下の$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の中からあてはまるものを選べ．

• $\text{1.}$　必要条件でも十分条件でもない
• $\text{2.}$　必要条件であるが十分条件でない
• $\text{3.}$　必要条件でないが十分条件である
• $\text{4.}$　必要十分条件である

(3)　命題「$\mathrm{B}$かつ$\mathrm{C}$」が真である場合，命題$\mathrm{D}$が真であることが証明できる．

　実際，命題$\mathrm{D}$における$w$として$w=\boxed{\text{ウ}}$が条件を満たす．

(4)　ある$(x,y,z)$の組に関して，命題$\mathrm{A}$が偽，命題$\mathrm{C}$が真であり，$x=4$であることが分かったならば，$z=\boxed{\text{エ}}$であることが分かる．