2008　東京理科大学　理工学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ネ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　すべての項が整数である数列$\{a_n\}$を

$a_n=17\cdot {19}^{n-1}+{(-1)}^{n}3\cdot 2^{4n-4}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．このとき，$a_1\text{，}{a}_2$をそれぞれ素因数分解すると

$a_1=\boxed{\text{ア}}\cdot \boxed{\text{イ}}$（ただし，$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}$とする）

$a_2=\boxed{\text{ウ}}\cdot \boxed{\text{エ}\text{オ}}$

となる．また，数列$\{a_n\}$は

$a_{n+1}=-\boxed{\text{カ}\text{キ}}{a}_n+\boxed{\text{ク}\text{ケ}\text{コ}}\cdot {19}^{n-1}$

を満たす．よって，すべての$a_n$を割り切る$2$以上の整数は$\boxed{\text{サ}}$のみである．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ネ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　実数$\alpha (0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$となるように定める．このとき，関数

$f(x)=2\sin x-\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

は，

$f(x)=\sqrt{\boxed{\text{シ}}}\sin (x-\alpha )$

の形に変形できる．よって，$f(x)$のとりうる値の範囲は，

$-\boxed{\text{ス}}\leqq f(x)\leqq \boxed{\text{セ}}$

であり，$f(x)$が最大値$\boxed{\text{セ}}$をとるのは$x={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ソ}}}}$のときである．

また，関数

$g(x)={\sin }^{2}x+4\sin x\cos x-{\cos }^{2}x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

は，$x={\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{タ}}}}$のとき，最大値$\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$をとる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ネ}}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　定数$k$に対して，整式$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)=x^4+5k{x}^3+(5k^2+4k-3)x^2+(5k+1)x+5k^2+6k-4$

$g(x)=x^2+5kx+5k^2+4k-4$

と定める．$f(x)$を$g(x)$で割った商を$q_1(x)\text{，}$余りを$r_1(x)$とすると，

$r_1(x)=\boxed{\text{ツ}}x+\boxed{\text{テ}}k$

となる．さらに，$g(x)$を$r_1(x)$で割った商を$q_2(x)\text{，}$余りを$r_2(x)$とすると，

$q_2(x)=\boxed{\text{ト}}x+\boxed{\text{ナ}}k$

となる．$f(x)$と$g(x)$が定数でない共通の因数をもつのは，$k=\boxed{\text{ニ}}$のときであり，その因数は$x+\boxed{\text{ヌ}}$である．

また，定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して，整式$A(x)\text{，}B(x)$を

$A(x)=x+a\text{，}B(x)=x^3+b{x}^2+cx+d$

と定める．$k=1$のとき，$A(x)$と$B(x)$が，

$f(x)A(x)-g(x)B(x)=1$

を満たすとすると，$a=\boxed{\text{ネ}}$である．

【２】　定数$a\text{，}b$に対して，関数$f(x)$を

$f(x)=|x^2+2ax+b|$

と定める．また，$f(x)$の$-1\leqq x\leqq 1$における最大値を$M$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　次の条件

$f(1)<{\displaystyle \frac{1}{2}}$かつ$f(-1)<{\displaystyle \frac{1}{2}}$

を満たす点$(a,b)$の存在領域を$ab$平面上に図示しなさい．またこのとき，実数$a$および$b$のとりうる値の範囲をそれぞれ求めなさい．

(2)　実数$a\text{，}b$がどのような値であっても，不等式

$M\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$

が成り立つことを示しなさい．

(3)　$M={\displaystyle \frac{1}{2}}$となるような$a\text{，}b$の値をすべて求めなさい．

【３】　定数$a\text{（}a>0\text{）}$に対し，$x\geqq \sqrt[3]{a^3-a^2}$の範囲で定義された関数$f(x)$を，

$f(x)=\sqrt{x^3-a^3+a^2}$

と定める．また，曲線$y=f(x)$上の点$(a,a)$における接線の方程式を$y=g(x)$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$g(x)$を求めなさい．

(2)　方程式$x^3-a^3+a^2={\{g(x)\}}^2$の解をすべて求めなさい．

(3)　曲線$y=f(x)$と接線$y=g(x)$が$(a,a)$以外に共有点をもつための$a$の条件を求めなさい．

(4)　$a=2$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めなさい．