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2008 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

(2)〜(4)と合わせて配点40点,

数学科は60点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章の から までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(1) 数列 { an } {b n} は次の漸化式を満たすとする.

a1= 0 b1 =2 { an+ 1= 13 b n bn+1 =2 an+ 13 bn n=1 2 3

このとき, 2a n+1 +bn +1= an+ bn である.これより,

an= + (- )n

となり,

limn bn=

である.

2008 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

(1),(3),(4)と合わせて配点40点

数学科は60点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章の から までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(2)  f( x)= log( x+1) として,

A= 01 f (x )d x B= 01 x f (x) dx

とおくと, A= log 2- B= である.

実数 a b に対して,

J= 01 {f (x) -ax -b} 2d x

とおく.このとき, C= 01 { f( x) }2 dx とおくと,

J= a2+ 2 ( b- B) a+ b2 -2A b+C

である. b を固定して, a を動かすと, J a= - b で最小値をとる.この最小値を m とする.さらに b を動かすと, m b = log 2- で最小となる.

2008 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

(1),(2),(4)と合わせて配点40点

数学科は60点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章の から までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.

(3)  O を原点とする空間内に 3 A (1 ,0,0 ) B( 0,2, 0) C (0 ,0,3 ) がある.三角錐 OABC V とおく. 0<t <3 の範囲の t に対して, 3 At (t ,0,0 ) B t( 0,t, 0) C t( 0,0, t) を通る平面による V の切口の面積を S ( t) で表す.このとき,

S( 1)=

である.

1<t< 2 の範囲の t に対して,線分 A tB t と線分 AB の交点を Dt とおくと,

A tD t =(t -1) ( , ,0 )

となり,線分 A tC t と線分 AC の交点を Et とおくと,

A tE t =( t-1) ( - , 0, )

となる.したがって, 1<t< 2 のとき,

S( t)= S( 1) (- t 2+ t- )

である.

2008 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

30点,数学科は45点

易□ 並□ 難□

【2】 定数 a b に対して, f( x)= x3+ ax2 +b x とおく.曲線 y= f( x) x 軸と相異なる 3 点で交わっているとき,次の問いに答えなさい.

(1)  a b の満たす条件を求めなさい.

(2)  b<0 のとき,曲線 y= f( x) x 軸で囲まれた 2 つの図形の面積の和を a b を用いて表しなさい.

(3)  b>0 のとき,曲線 y= f( x) x 軸で囲まれた 2 つの図形の面積が等しくなるための a b の条件を求めなさい.

2008 東京理科大学 理工学部B方式

数,建築,電気電子情報学科

2月6日実施

30点,数学科は45点

易□ 並□ 難□

【3】 定数 a a> 1 を満たすものとする.実数 t 0 t1 に対して, xy 平面内に点 P( at, 0) をとり,点 P を中心とする半径 1 -t の円およびその内部を D t とする.ただし, D1 は点 ( a,0 ) である. t 0 から 1 まで動くとき, Dt の通過する領域を E とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)  Dt を不等式で表しなさい.

(2) 点 (x ,0) E の点となるような x の範囲を求めなさい.

(3) (2)で求めた範囲の x に対して,点 (x ,y) E の点となるような y の範囲を求めなさい.

(4)  E x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めなさい.

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