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2008-13442-0401
2008 東京理科大学 理工学部B方式
数,建築,電気電子情報学科
2月6日実施
(2)〜(4)と合わせて配点40点,
数学科は60点
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章の ア から ヨ までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.
(1) 数列 { an }, {b n} は次の漸化式を満たすとする.
a1= 0 ,b1 =2 ,{ an+ 1= 13⁢ b n bn+1 =2⁢ an+ 13 ⁢ bn ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
このとき, 2⁢a n+1 +bn +1= ア ⁢ an+ イ ⁢ bn である.これより,
an= ウ エ + オ カ ⁢ (- キ ク )n
となり,
limn→ ∞⁡ bn= ケ コ
である.
2008-13442-0402
(1),(3),(4)と合わせて配点40点
(2) f⁡( x)= log⁡( x+1) として,
A= ∫01 ⁡f ⁡(x )⁢d x, B= ∫01 ⁡x⁢ f⁡ (x) ⁢dx
とおくと, A= サ ⁢ log⁡ 2- シ , B= ス セ である.
実数 a , b に対して,
J= ∫01 ⁡ {f⁡ (x) -a⁢x -b} 2⁢d x
とおく.このとき, C= ∫01 ⁡{ f⁡( x) }2 ⁢dx とおくと,
J= ソ タ ⁢ a2+ 2⁢ ( チ ツ ⁢ b- B) ⁢a+ テ ⁢ b2 -2⁢A ⁢b+C
である. b を固定して, a を動かすと, J は a= ト ナ - ニ ヌ ⁢ b で最小値をとる.この最小値を m とする.さらに b を動かすと, m は b = ネ ⁢ log ⁡2- ノ ハ ヒ で最小となる.
2008-13442-0403
(1),(2),(4)と合わせて配点40点
(3) O を原点とする空間内に 3 点 A (1 ,0,0 ), B( 0,2, 0) ,C (0 ,0,3 ) がある.三角錐 OABC を V とおく. 0<t <3 の範囲の t に対して, 3 点 At (t ,0,0 ), B t( 0,t, 0) ,C t( 0,0, t) を通る平面による V の切口の面積を S ⁡( t) で表す.このとき,
S⁡( 1)= フ ヘ
1<t< 2 の範囲の t に対して,線分 A tB t と線分 AB の交点を Dt とおくと,
A tD t→ =(t -1) ⁢( ホ , マ ,0 )
となり,線分 A tC t と線分 AC の交点を Et とおくと,
A tE t→ =( t-1) ⁢( - ミ ム , 0, メ モ )
となる.したがって, 1<t< 2 のとき,
S⁡( t)= S⁡( 1)⁢ (- ヤ ⁢ t 2+ ユ ⁢ t- ヨ )
2008-13442-0404
30点,数学科は45点
【2】 定数 a , b に対して, f⁡( x)= x3+ a⁢x2 +b⁢ x とおく.曲線 y= f⁡( x) が x 軸と相異なる 3 点で交わっているとき,次の問いに答えなさい.
(1) a ,b の満たす条件を求めなさい.
(2) b<0 のとき,曲線 y= f⁡( x) と x 軸で囲まれた 2 つの図形の面積の和を a , b を用いて表しなさい.
(3) b>0 のとき,曲線 y= f⁡( x) と x 軸で囲まれた 2 つの図形の面積が等しくなるための a , b の条件を求めなさい.
2008-13442-0405
【3】 定数 a は a> 1 を満たすものとする.実数 t ( 0 ≦t≦1 ) に対して, xy 平面内に点 P( a⁢t, 0) をとり,点 P を中心とする半径 1 -t の円およびその内部を D t とする.ただし, D1 は点 ( a,0 ) である. t が 0 から 1 まで動くとき, Dt の通過する領域を E とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) Dt を不等式で表しなさい.
(2) 点 (x ,0) が E の点となるような x の範囲を求めなさい.
(3) (2)で求めた範囲の x に対して,点 (x ,y) が E の点となるような y の範囲を求めなさい.
(4) E を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めなさい.