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2008 東京理科大学 薬学部B方式

薬学科

2月7日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【1】 半径 2 2 の円に内接する鋭角三角形 ABC があり, A=45 ° で, BC:CA= 2: 3 であるという.

(1)  BC= ° である.

(2)  B= ° C= ° であり, AB= + である.

(3) 三角形 ABC の面積は + である.

(4) 三角形 ABC の内接円の半径 r は, t=2 +1 とおくとき

(1 + ) t+

と表され, r= - + となる.

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薬学科

2月7日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【2】(1)  a1= 1 an +1= 3an +8n n=1 2 3 で定められた数列 { an} を考える.

(ⅰ)  bn= a n n とおくと,数列 { bn } は, bn+ 1= b n+ すなわち bn+1 - = (b n- ) を満たす.

(ⅱ)  an= n- n である.

(2)  a1= 1 an+ 1=3 an +8n n= 1 2 3 で定められた数列 { an } を考える.

(ⅰ)  bn= an+ n とおくと,数列 { bn } は, bn+ 1= b n+ を満たす.

(ⅱ)  an= n-1 - n- である.

ただし,(1),(2)における等式は,すべての n n= 1 2 3 に対して成り立つものとする.

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薬学科

2月7日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【3】 平面上に大きさがともに 1 のベクトル p q があり, p q は垂直である.一つのさいころを投げる試行を 5 回繰返し, k 回目の試行で出た目の数によってベクトル ak を次のように定める( k =1 2 3 4 5 ).ただし, 0 は零ベクトルである.

(ⅰ)  k=1 3 5 のとき,

出た目の数が 1 または 6 ならば ak =p で,それ以外ならば ak =0

(ⅱ)  k=2 4 のとき,

出た目の数が 1 ならば ak =q で,それ以外ならば a k =0

そのとき, x =a1 + a2 + a3 + a4 + a5 とおく.

(1)  x =p +2 q となる確率は である.また, x とベクトル p- 2q が垂直(ただし x= 0 の場合を含まない)となる確率は である.

(2)  x の大きさが 5 となる確率は である.

(3)  x p =0 となる確率は であり, x p の期待値は である.また, x q の期待値は である.ただし, x p x p の内積を表し, 0 p =0 であるものとする.

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配点25点

易□ 並□ 難□

【4】  a 0 でない定数として, xy 平面における曲線 C 1:y= ax3 と放物線 C2:y =( x-1) 2 を考える.

(1)  C1 C 2 の両方に接する直線が, x 軸のほかに,ただ 1 つあるような a の値は である.また, C1 C 2 の両方に接する直線が, x 軸のほかに, 2 つあるような a の値の範囲は

a< <a< (*)

である.

定数 a が(*)の範囲にあるとき, C1 C 2 の両方に接する直線で x 軸以外のものを l1 l2 とする.

(2)  l1 l 2 の交点の x 座標が取りうる値の範囲は

x<- <x

である.

(3)  l1 l 2 の交点の x 座標が 5 であるような a の値は である.このとき,放物線 C 2 と直線 l1 l2 とで囲まれた部分の面積は である.

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