2008　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　$\mathrm{OA}=3\text{，}\mathrm{OB}=2\text{，}\angle \mathrm{AOB}=60\mathrm{°}$であり三角形$\mathrm{OAB}$において，頂点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．

(a)　${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AH}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(b)　線分$\mathrm{OH}$上に$\angle \mathrm{APB}=90\mathrm{°}$となる点$\mathrm{P}$をとると，

${\displaystyle \frac{\mathrm{HP}}{\mathrm{OP}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}+\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

(c)　$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$とすると，

${\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　以下の問いに答えなさい．

(a)　$x$が実数全体を動くとき，関数$y={\displaystyle \frac{\cos x+1}{\cos x+5}}$がとる値の範囲は

$\boxed{\text{ア}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$

である．

(b)　$x$が実数全体を動くとき，関数$y={\displaystyle \frac{\cos x+2\sin x+1}{\cos x-3\sin x+5}}$がとる値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　座標平面において，図形$\left|{\displaystyle \frac{x}{2}}\right|+|y|=1$と直線$y-x=p$（$p$は実数）は異なる$2$点で交わる．

連立不等式$\{\begin{array}{l}\left|{\displaystyle \frac{x}{2}}\right|+|y|\leqq 1\\ y-x\geqq p\end{array}$の表す領域の面積を$S_A$とし，

連立不等式$\{\begin{array}{l}\left|{\displaystyle \frac{x}{2}}\right|+|y|\leqq 1\\ y-x\leqq p\end{array}$の表す領域の面積を$S_B$とする．

(a)　$p=\boxed{\text{ア}}$のとき，$S_A$と$S_B$の比は$S_A:S_B=1:5$である．

(b)　$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$のとき，$S_A$と$S_B$の比は$S_A:S_B=1:2$である．

(c)　$p=\boxed{\text{エ}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$のとき，$S_A$と$S_B$の比は$S_A:S_B=1:11$である．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　媒介変数$\theta$によって定義される，座標平面上の曲線

$x=\theta -\sin \theta \text{，}y=1-\cos \theta$

の$0\leqq \theta \leqq 2\pi$の部分と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　座標空間において，ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,-2,2)\text{，}\overrightarrow{b}=(-1,4,2)\text{，}\overrightarrow{c}=(2,-2,-1)$とし，$s\text{，}t$を実数としてベクトル$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$とする．ベクトル$\overrightarrow{p}$が$\overrightarrow{c}$に垂直で大きさが$3\sqrt{2}$のとき，$s$および$t$の値を求め，$\overrightarrow{p}$を成分で表しなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　実数$a\text{，}b$は$2$つの関数$g(x)=4\log x+5$と$h(x)=a{x}^2+b$が$g(1)=h(1)\text{，}{g}^{\prime }(1)=h^{\prime }(1)$を満たすようなものとする．ただし，$g^{\prime }(x)\text{，}{h}^{\prime }(x)$はそれぞれ$g(x)$および$h(x)$の導関数である．$a\text{，}b$の値を求めなさい．

(2)　(1)で求めた$a\text{，}b$を用いて関数$f(x)$を次のように定義する．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}4\log x+5& \text{（}x\geqq 1\text{）}\\ a{x}^2+b& \text{（}x<1\text{）}\end{array}$

$p$を定数とするとき，点$\mathrm{P}(0,p)$から引いた曲線$y=f(x)$の異なる接線の個数は$p$の値によってどのように変わるかを調べ，それらの接線の方程式を求めなさい．