2008　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　座標平面において，直線$y=mx$に関する対称移動$f$を考える．ただし，$m>0$とする．

(a)　$m=2$のとき，$f$を表す行列は$\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}& {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\\ {\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}& {\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\end{array}\right)$である．

(b)　移動$f$によって点$(1,1)$が第一象限の点に移るとき，$m$のとりうる値の範囲は

$-\boxed{\text{ケ}}+\sqrt{\boxed{\text{コ}}}<m<\boxed{\text{サ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$

である．

(c)　移動$f$によって点$(2,4)$が移る点を$\mathrm{P}$とおく．$m=\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$のとき，点$\mathrm{P}$と点$(-1,2)$との距離は$\sqrt{15}$になる．このとき，点$\mathrm{P}$の座標は$(-\boxed{\text{セ}}+\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}},\boxed{\text{チ}}+\sqrt{\boxed{\text{ツ}}})$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　以下の問いに答えなさい．

(a)　正の定数$a$に対して，式

$z=-a{y}^2+2a^{2}y-2a^3+a$

を考える．$y$が範囲$0\leqq y\leqq 2a$を動くとき，$z$のとりうる値の範囲は

$-\boxed{\text{ア}}{a}^3+\boxed{\text{イ}}a\leqq z\leqq -\boxed{\text{ウ}}{a}^3+\boxed{\text{エ}}a$

である．

(b)　式

$z=-x{y}^2+2x^{2}y-2x^3+x$

を考える．$x\text{，}y$が条件$0\leqq x\leqq 1\text{，}0\leqq y\leqq 2x$を満たしながら動くとき，$z$は，$x={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$で最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\times \sqrt{\boxed{\text{サ}}}$をとる．また，$z$は，$x=\boxed{\text{シ}}\text{，}y=\boxed{\text{ス}}$または$x=\boxed{\text{セ}}\text{，}y=\boxed{\text{ソ}}$で最小値$-\boxed{\text{タ}}$をとる．ただし，$\boxed{\text{ス}}<\boxed{\text{ソ}}$とする．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　座標平面において，円$C:x^2+y^2-2y=0$と傾き$m$の直線$y=m(x-2)$は異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わっている．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいものとする．また，円$C$の中心を$\mathrm{P}$とする．

(a)　$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．また，$m$のとりうる値の範囲は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}<m<\boxed{\text{オ}}$

である．

(b)　$m=-\boxed{\text{カ}}$または$m=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のとき，線分$\mathrm{AB}$を直径とする円は$\mathrm{P}$を通る．この円の中心の$x$座標は，$m=-\boxed{\text{カ}}$のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$であり，$m=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のとき$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}}$である．また，いずれの場合も$\mathrm{AB}=\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$である．

(c)　$m=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}+\sqrt{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}}$または$m=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}-\sqrt{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}}$のとき，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$を通る円の半径は$1$である．また，この円の中心の$x$座標は$m=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}+\sqrt{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}}$のとき${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}+\sqrt{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}}}$である．

【２】　式$xw-yz=30$を満たす実数$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$を成分とする正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$を考える．行列$A$が次の条件

$A\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)A$

を満たすとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$z$の値を求め，$y\text{，}w$をそれぞれ$x$で表しなさい．

(2)　$A^2=(k+1)A-k\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$を満たす実数$k$および行列$A$をすべて求めなさい．

【３】　関数$f(x)=x^3-x$と$g(x)=-x^2+k$に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が異なる$3$点で交わるような実数$k$を考える．

(1)　$k$のとりうる値の範囲を求めなさい．

(2)　$k=0$のとき，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めなさい．

(3)　曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の$3$つの交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{（}\alpha <\beta <\gamma \text{）}$とする．$\beta -\alpha =\gamma -\beta$となるような$k$およびそのときの$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の値を求めなさい．