2008　東京理科大学　基礎工学部B方式2月10日実施MathJax

【１】　座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(3,1,-1)\text{，}\mathrm{B}(1,4,0)\text{，}\mathrm{C}(1,1,3)$をとる．$t$を$0<t<1$を満たす実数とし，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さは$\sqrt{\boxed{\text{アイ}}}$である．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直になるのは，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$のときであり，そのときの点$\mathrm{P}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}})$

である．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$である．

【２】　座標平面上の$2$直線$l_1:y={\displaystyle \frac{4}{3}}x$と$l_2:y=2x$について考える．$l_1\text{，}{l}_2$が$x$軸と作る鋭角をそれぞれ${\theta }_1\text{，}{\theta }_2$とする．

(1)　$\sin {\theta }_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}\cos {\theta }_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}\sin {\theta }_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}\text{，}\cos {\theta }_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$

である．

(2)　$\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}\text{，}\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$である．

(3)　$2$直線$l_1$と$l_2$の作る鋭角の二等分線を$l$とする．$l$が$x$軸と作る鋭角を$\theta$とすると，

$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}{\theta }_1+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}{\theta }_2$

となり，直線$l$の方程式は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}+\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}x$

となる．

【３】　実数$x\text{，}y$に関する次の$3$つの条件を考える．

条件$\mathrm{A}:-1<x<1$かつ$-1<y<1$が成り立つ．

条件$\mathrm{B}:-1<xy<1$が成り立つ．

条件$\mathrm{C}:x^2+y^2<1$が成り立つ．

(1)　下記の命題１から４の中で，条件$\mathrm{A}$と条件$\mathrm{B}$の関係を正しく述べているのは$\boxed{\text{あ}}$である．

１　$x\text{，}y$が$\mathrm{A}$を満たすならば必ず$\mathrm{B}$を満たし，$\mathrm{B}$を満たせば必ず$\mathrm{A}$を満たす．

２　$x\text{，}y$が$\mathrm{A}$を満たすならば必ず$\mathrm{B}$を満たすが，$\mathrm{B}$を満たしていても$\mathrm{A}$を満たすとは限らない．

３　$x\text{，}y$が$\mathrm{A}$を満たすならば必ず$\mathrm{B}$を満たすが，$\mathrm{B}$を満たしていても$\mathrm{A}$を満たすとは限らない．

４　$x\text{，}y$が$\mathrm{A}$を満たしていても$\mathrm{B}$を満たすとは限らず，$\mathrm{B}$を満たしていても$\mathrm{A}$を満たすとは限らない．

(2)　下記の命題１から４の中で，条件$\mathrm{A}$と条件$\mathrm{C}$の関係を正しく述べているのは$\boxed{\text{い}}$である．

１　$x\text{，}y$が$\mathrm{A}$を満たすならば必ず$\mathrm{C}$を満たし，$\mathrm{C}$を満たせば必ず$\mathrm{A}$を満たす．

２　$x\text{，}y$が$\mathrm{A}$を満たすならば必ず$\mathrm{C}$を満たすが，$\mathrm{C}$を満たしていても$\mathrm{A}$を満たすとは限らない．

３　$x\text{，}y$が$\mathrm{C}$を満たすならば必ず$\mathrm{A}$を満たすが，$\mathrm{A}$を満たしていても$\mathrm{C}$を満たすとは限らない．

４　$x\text{，}y$が$\mathrm{A}$を満たしていても$\mathrm{C}$を満たすとは限らず，$\mathrm{C}$を満たしていても$\mathrm{A}$を満たすとは限らない．

(3)　下記の命題１から４の中で，条件$\mathrm{B}$と条件$\mathrm{C}$の関係を正しく述べているのは$\boxed{\text{う}}$である．

１　$x\text{，}y$が$\mathrm{B}$を満たすならば必ず$\mathrm{C}$を満たし，$\mathrm{C}$を満たせば必ず$\mathrm{C}$を満たす．

２　$x\text{，}y$が$\mathrm{B}$を満たすならば必ず$\mathrm{C}$を満たすが，$\mathrm{C}$を満たしていても$\mathrm{B}$を満たすとは限らない．

３　$x\text{，}y$が$\mathrm{C}$を満たすならば必ず$\mathrm{B}$を満たすが，$\mathrm{B}$を満たしていても$\mathrm{C}$を満たすとは限らない．

４　$x\text{，}y$が$\mathrm{B}$を満たしていても$\mathrm{C}$を満たすとは限らず，$\mathrm{C}$を満たしていても$\mathrm{B}$を満たすとは限らない．

【４】(1)　座標平面上で，曲線$y=x^2$の点$(1,1)$における接線を$l_1\text{，}$法線を$l_2$とする．$l_1\text{，}{l}_2$の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$を直線$l_1$上の点とする．曲線$y=x^2$に$\mathrm{P}$から引いた接線で$l_1$ではないものを$l_3$とし，$l_3$の接点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．

(3)　曲線$y=x^2$の$\mathrm{Q}$における法線を$l_4$とし，$l_2$と$l_4$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{P}$が$l_1$上を動いて点$(1,1)$に近づくとき，$\mathrm{R}$はある定点${\mathrm{R}}_0$に近づく．${\mathrm{R}}_0$の座標を求めよ．

【５】　$a$を正の定数として，$x$を変数とする関数

$f(x)=-3x-{\displaystyle \frac{8}{x-1}}+\log a\text{（}x\ne 1\text{）}$

を考える．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$x>1$の範囲で$f(x)$が最大となる$x$の値を求め，その最大値を$a$の式で表せ．

(3)　座標平面上で，曲線$y=f(x)$が$x>1$の範囲で$x$軸と異なる$2$点で交わり，その交点の$1$つが点$(5,0)$であるとする．このとき，$a$の値を求め，もう$1$つの交点の座標を求めよ．

(4)　定数$a$が(3)で求めた値のとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．