2008　東京理科大学　薬学部B方式2月11日実施MathJax

【１】　$a$を実数とし，$2$つの曲線$C:y=x^2$と$C_a:y=-x^2+2ax-a^2+a$を考える．

(1)　$C$と$C_a$が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{ア}}<a<\boxed{\text{イ}}$

であり，$a$がこの範囲にあるとき，$C$と$C_a$で囲まれる部分の面積は

${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}}{(\sqrt{a(\boxed{\text{エ}}-a})}^{\boxed{\text{オ}}}$

である．

(2)　$C$と$C_a$の共通接線が$2$本存在するような$a$の値の範囲は

$a<\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}<a$

である．$a$がこの範囲にあるとし，$C$と$C_a$の$2$本の共通接線のなす角を${\theta }_a(0<{\theta }_a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．${\theta }_a={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となるのは$a=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$のときであり，$a\ne -{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$のとき，$\tan {\theta }_a$の値は

$\tan {\theta }_a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}\sqrt{a^{\boxed{\text{サ}}}-\boxed{\text{シ}}a}}{|\boxed{\text{ケ}}a+\boxed{\text{ク}}|}}$

である．

【２】　数列

$1\text{，}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}\cdots$

を$\{a_n\}$とする．

(1)　$a_n=-{\displaystyle \frac{1}{100}}$となる最大の自然数$n$は，$n=\boxed{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}$である．

(2)　$a_{2008}=\boxed{\text{(a)}}{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}}$である．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，

$S_{16}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\text{，}{S}_{1277}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}}}}$

である．

(注)　(a)には，あてはまる符号をマークせよ．

【３】　$3$個のさいころを同時に投げる．

(1)　$3$または$6$の目が少なくとも$1$つ出る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}}}$である．

(2)　$3$または$5$または$6$の目が少なくとも$1$つ出る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．

(3)　$3$つの目の積が$15$で割り切れる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．

【４】　$a$を実数とし，座標平面上に点$\mathrm{A}(1,a)\text{，}$点$\mathrm{B}(0,-1)\text{，}$点$\mathrm{C}(2,0)$をとる．点$\mathrm{P}$は放物線$y=x^2-2+3$上を動くとし，三角形$\mathrm{PBC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．このとき，重心$\mathrm{G}$の軌跡は放物線

$y=\boxed{\text{ミ}}{(x-\boxed{\text{ム}})}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}$

である．また，$\mathrm{G}$の$y$座標を$t$とすると，

${\mathrm{AG}}^2={(t+\boxed{\text{(b)}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}})}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}}a-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{リ}}}{\boxed{\text{ル}\text{レ}}}}$

である．$t$のとり得る値の範囲は$t\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ロ}}}{\boxed{\text{あ}}}}$であるから，$\mathrm{AG}$の最小値は

$a\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{い}}}{\boxed{\text{う}}}}$のとき${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{え}\text{お}}a-\boxed{\text{か}}}}{\boxed{\text{き}}}}$

$a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{い}}}{\boxed{\text{う}}}}$のとき$|{\displaystyle \frac{\boxed{\text{く}}}{\boxed{\text{け}}}}-a|$

である．

(注)　(b)には，あてはまる符号をマークせよ．