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2008 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

(2),(3)と合わせて配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.また   内の(p)にはあてはまる符号をマークせよ.

(1)  7777 の下の 3 桁を求めてみよう.まず, 74= 2401 であるから,

7777= 2401n 7 (ただし n=

である.ここで,二項定理を用いて,

2401n= (2400 +1) n=1000 k+ (ただし k はある整数)

となる.したがって, 7777 の下 3 桁は である.

2008 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

(1),(3)と合わせて配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.また   内の(p)にはあてはまる符号をマークせよ.

(2)  n 2 以上の自然数とする. n 個のさいころを同時に投げたとき,どのさいころの目も,他のさいころの目で割り切れない確率を p n とする.

(a)  p2= p3 = である.

(b)  pn> 0 となるような最大の自然数 n n= である.

2008 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

(1),(3)と合わせて配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.また   内の(p)にはあてはまる符号をマークせよ.

(3)  a b c を実数とし,行列 A= ( 45 a bc ) で表される平面上の点の移動を考える.この移動により動かされない点が原点以外に存在するとき, a b c は展開式

ab+ c=

を満たす.このとき,直線 l: x- a y=0 上のすべての点はこの移動によって動かされない.

 さらに,この移動が直線 l に関する対称移動であるとき, a b の値の組は

(a, b)= ( , ) ( - , - )

であり,

c= (p)

である.

2008 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】  a>1 とするとき,関数 f (x) =xa logx x> 0 について次の問いに答えよ.ただし, logx x の自然対数を表し, e は自然対数の底を表す.

(1)

(a)  t0 のとき, ea t> t 22 が成り立つことを示せ.

(b)  x=e -t とおくことによって, limx +0 f( x) を求めよ.

(2)  y=f (x ) のグラフの概形を描け.また,変曲点があれば,その x 座標を求めよ.

(3)  0<b< 1 とする.直線 x= b y=0 および曲線 y= f( x) xb で囲まれる図形の面積 S (b ) を求めよ.

(4) (3)で求めた S (b) に対し, limb +0 S( b) を求めよ.

2008 東京理科大学 理学部B方式

数,物理,化学科

2月12日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【3】 行列 A= ( 23 02 ) を用いて,実数 x に対して fn (x ) gn ( x) n=1 2 3

f1 (x) =sinx g1 (x) =cosx

( fn+ 1( x) gn +1 (x) )= A( f n( x) gn (x) ) n=1 2 3

によって定義する.次の問いに答えよ.

(1)  0x π における関数 f 1( x)+ g1 (x ) の最大値 M 1 および関数 f2 (x) +g2 (x ) の最大値 M 2 を求めよ.

(2)  An を求めよ.

(3)  n 3 以上の自然数とする. 0x π における関数 f n( x)+ gn (x ) の最大値 M n を求めよ.

(4)  limn Mn+1 Mn を求めよ.

(5)  0x π における関数 f n( x)+ gn (x) の最大値 M n を与える x の値(これはただ 1 つに定まる)を a n とする.このとき, Mn cosa n の値を求めよ.

(6)

(a)  r 1 でない実数, N を自然数とするとき, n=1 N nrn を求めよ.

(b)  N を自然数とするとき, n=1 N Mn cosan を求めよ.

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