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2008-13442-1001
2008 東京理科大学 理学部B方式
数,物理,化学科
2月12日実施
(2),(3)と合わせて配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の(1)から(3)において, 内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.また 内の(p)にはあてはまる符号をマークせよ.
(1) 7777 の下の 3 桁を求めてみよう.まず, 74= 2401 であるから,
7777= 2401n ⋅7 (ただし n= ア イ ウ )
である.ここで,二項定理を用いて,
2401n= (2400 +1) n=1000 ⁢k+ エ オ カ (ただし k はある整数)
となる.したがって, 7777 の下 3 桁は キ ク ケ である.
2008-13442-1002
(1),(3)と合わせて配点40点
(2) n を 2 以上の自然数とする. n 個のさいころを同時に投げたとき,どのさいころの目も,他のさいころの目で割り切れない確率を p n とする.
(a) p2= コ サ シ ,p3 = ス セ ソ である.
(b) pn> 0 となるような最大の自然数 n は n= タ である.
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(3) a ,b ,c を実数とし,行列 A= ( 45 a bc ) で表される平面上の点の移動を考える.この移動により動かされない点が原点以外に存在するとき, a ,b , c は展開式
チ ⁢ a⁢b+ c= ツ
を満たす.このとき,直線 l: x- テ⁢ a⁢ y=0 上のすべての点はこの移動によって動かされない.
さらに,この移動が直線 l に関する対称移動であるとき, a ,b の値の組は
(a, b)= ( ト ナ , ニ ヌ ) ,( - ト ナ , - ニ ヌ )
であり,
c= (p) ⁢ ネ ノ
である.
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配点30点
【2】 a>1 とするとき,関数 f⁡ (x) =xa ⁢log⁡x ( x> 0 ) について次の問いに答えよ.ただし, log⁡x は x の自然対数を表し, e は自然対数の底を表す.
(1)
(a) t≧0 のとき, ea⁢ t> t 22 が成り立つことを示せ.
(b) x=e -t とおくことによって, limx→ +0⁡ f⁡( x) を求めよ.
(2) y=f⁡ (x ) のグラフの概形を描け.また,変曲点があれば,その x 座標を求めよ.
(3) 0<b< 1 とする.直線 x= b ,y=0 および曲線 y= f⁡( x) ( x≧b ) で囲まれる図形の面積 S ⁡(b ) を求めよ.
(4) (3)で求めた S⁡ (b) に対し, limb→ +0⁡ S⁡( b) を求めよ.
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配点25点
【3】 行列 A= ( 23 02 ) を用いて,実数 x に対して fn⁡ (x ) ,gn ⁡( x) ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) を
f1⁡ (x) =sin⁡x , g1⁡ (x) =cos⁡x ,
( fn+ 1⁡( x) gn +1⁡ (x) )= A⁢( f n⁡( x) gn⁡ (x) ) ( n=1 ,2 ,3 ,⋯)
によって定義する.次の問いに答えよ.
(1) 0≦x≦ π における関数 f 1⁡( x)+ g1⁡ (x ) の最大値 M 1 および関数 f2⁡ (x) +g2 ⁡(x ) の最大値 M 2 を求めよ.
(2) An を求めよ.
(3) n を 3 以上の自然数とする. 0≦x≦ π における関数 f n⁡( x)+ gn⁡ (x ) の最大値 M n を求めよ.
(4) limn→ ∞⁡ Mn+1 Mn を求めよ.
(5) 0≦x≦ π における関数 f n⁡( x)+ gn⁡ (x) の最大値 M n を与える x の値(これはただ 1 つに定まる)を a n とする.このとき, Mn⁢ cos⁡a n の値を求めよ.
(6)
(a) r を 1 でない実数, N を自然数とするとき, ∑ n=1 N⁡ n⁢rn を求めよ.
(b) N を自然数とするとき, ∑ n=1 N⁡ Mn⁢ cos⁡an を求めよ.