2008　東京理科大学　理学部B方式2月13日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(1)　$a\text{，}b$を自然数とし，行列$A$を，$A=\left(\begin{array}{cc}a& a+1\\ b+1& -b\end{array}\right)$により定める．$x\text{，}y$についての連立$1$次方程式

$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=7\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

が$x=0\text{，}y=0$以外の解をもつとする．このとき，

$(a-\boxed{\text{ア}})(b+\boxed{\text{イ}})=\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$

であり，したがって，$a=\boxed{\text{オ}}\text{，}b=\boxed{\text{カ}}$であるか，または，$a=\boxed{\text{キ}}\text{，}b=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　次の(1)，(2)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$について考える．

(a)　$y=\sin B\text{，}z=\sin C$とおき，$\cos A+\cos (B-C)$を$y\text{，}z$を用いて表すと，

$\cos A+\cos (B-C)=\boxed{\text{ケ}}{y}^{\boxed{\text{コ}}}{z}^{\boxed{\text{サ}}}$

となる．

(b)　$\mathrm{AC}=1$とし，$2$つの関係式

$\begin{array}{ll}\cos 2A+3{\sin }^{2}B+3{\sin }^{2}C=1& \cdots \text{①}\\ \cos 2A+3\cos A+3\cos (B-C)=1& \cdots \text{②}\end{array}$

が成立しているとする．このとき，${\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=\cos A+\cos (B-C)$であるから，(a)を用いると，$\mathrm{AB}=\boxed{\text{シ}}$であることがわかる．したがって，$x=\cos A$とおいて，$\text{②}$を$x$についての$2$次方程式の形に書くことにより，$A={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\pi$となることがわかる．よって，$\mathrm{BC}=\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$である．

【２】　$m$を実数とし，$x$の$3$次関数$f(x)$を

$f(x)=x^3+3m{x}^2+2m^{2}x+m^2$

により定める．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は$x$の$2$次関数になる．文字$x$について，$3$次式$f(x)$を$2$次式$f^{\prime }(x)$で割ったときの余りを求めよ．

(2)　$x$についての$2$次方程式$f^{\prime }(x)=0$の$2$個の解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，$f(\alpha )f(\beta )$を，$m$についての多項式の形に表せ．

(3)　$x$についての$3$次方程式$f(x)=0$が$2$個以上の異なる実数解をもつような$m$の値の範囲を求めよ．

(4)　$x$についての$3$次方程式$f(x)=0$はちょうど$2$個の異なる実数解をもつとする．

(a)　$m$の値を求めよ．

(b)　(a)で求めた$m$の値のおのおのに対し，$3$次方程式$f(x)=0$の$2$重解を求めよ．

【３】　関数

$f(x)=x{(\log x)}^2\text{（}x>0\text{）}$

について考える．ここで，$\log x$は$x$の自然対数を表すとする．関数$f(x)$が極値をとる$x$の値は$2$個あり，それらの$x$の値を$a\text{，}b$とする．ただし，$a<b$とする．

(1)　$a\text{，}b$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を求めよ．

(3)　曲線

$y=f(x)\text{（}a<x<b\text{）}$

上に点$\mathrm{C}(t,f(t))$をとり，曲線$y=f(x)$の$\mathrm{C}$における接線を$l$とする．このとき，$l$が点$(b,f(b))$を通るための必要十分条件は，$t$についての多項式$P(t)$を用いて，$\log t=P(t)$の形に表される．多項式$P(t)$を求めよ．

(4)(a)　不定積分${\displaystyle \int }x\log xdx$を求めよ．

(b)　不定積分${\displaystyle \int }x{(\log x)}^{2}dx$を求めよ．

（ヒント：部分積分法を用い，(a)の結果を利用するとよい．）

(5)　点$\mathrm{C}(t,f(t))$と直線$l$は(3)における通りであるとし，$l$は点$(b,f(b))$を通るとする．このとき，曲線$y=f(x)\text{（}t\leqq x\leqq b\text{）}$と直線$l$で囲まれた図形の面積$S$は，$t$についての多項式$Q(t)$を用いて，$S=(1-t)Q(t)$と表される．多項式$Q(t)$を求めよ．