2008　東京理科大学　理学部情報数理学科2月13日実施MathJax

【１】　$a\text{，}b$を正の定数とし，座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b)$をとる．

(1)　直線$\mathrm{AB}$が曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$と共有点をもたないための必要十分条件を，$a\text{，}b$を用いて表せ．

以下では，直線$\mathrm{AB}$は曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$と共有点をもたないとする．また，点$\mathrm{A}$から曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$に引いた接線の接点を$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{B}$から曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$に引いた接線の接点を$\mathrm{D}$とする．

(2)　点$\mathrm{C}$の座標と点$\mathrm{D}$の座標を求め，直線$\mathrm{CD}$の傾きを求めよ．

(3)　$t$を正の実数とし，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$上に点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$をとる．

(a)　三角形$\mathrm{ABP}$が領域

$\{(x,y)|x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}xy\leqq 1\}$

に含まれるような，$t$の値の範囲を求めよ．

(b)　$t$が(a)で求めた範囲を動くときの$▵\mathrm{ABP}$の面積の最小値と，最小値を与える$t$の値を求めよ．

(c)　$t$が(a)で求めた範囲を動くときの$▵\mathrm{ABP}$の面積の最大値と，最大値を与える$t$の値を求めよ．

【２】(1)　$b$を$1$より大きい実数，$p$を自然数とし，$S={\displaystyle \sum _{k=1}^p}{\displaystyle \frac{k}{b^k}}$と定める．このとき，$bS-S$を考えることにより，$S$を計算せよ．

(2)　自然数$n$に対し，

$n$は$2^k$では割り切れるが$2^{k+1}$では割り切れない

ような$0$以上の整数$k$の値を，$a_n$で表すことにする．たとえば，$a_7=0\text{，}{a}_8=3\text{，}{a}_9=0\text{，}{a}_{10}=1$である．

　$r$を自然数とする．$0\leqq k\leqq r$であるような整数$k$に対し，$2^r\leqq n\leqq 2^{r+1}-1$かつ$a_n\geqq k$であるような自然数$n$全体の集合を${\mathrm{A}}_k$で表し，$2^r\leqq n\leqq 2^{r+1}-1$かつ$a_n=k$であるような自然数$n$全体の集合を${\mathrm{B}}_k$で表す．つまり

${\mathrm{A}}_k=\{n|n\text{は自然数，}{2}^r\leqq n\leqq 2^{r+1}-1\text{，}{a}^n\geqq k\}$

${\mathrm{B}}_k=\{n|n\text{は自然数，}{2}^r\leqq n\leqq 2^{r+1}-1\text{，}{a}_n=k\}$

である．

(a)　集合${\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{A}}_1$の要素の個数を求めよ．

(b)　$0\leqq k\leqq r$とするとき，集合${\mathrm{A}}_k$の要素の個数を求めよ．

(c)　$0\leqq k\leqq r-1$とするとき，集合${\mathrm{B}}_k$の要素の個数を求めよ．

(d)　集合${\mathrm{B}}_r$の要素の個数を求めよ．

(e)　${\displaystyle \sum _{n=2^r}^{2^{r+1}-1}}{a}_n$を計算せよ．