2008　東邦大学　理学部A日程MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　平面上の$4$つの点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{O}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}}$を満たす点$\mathrm{G}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{2}}$を満たす点$\mathrm{M}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OG}}-\overrightarrow{\boxed{\text{ア}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成立する．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$x^2+x+1=0$の$2$つの解を$\alpha$および$\beta$とするとき，${({\alpha }^2-{\beta }^2)}^2=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$xy$座標平面上で，$x^2+y^2-2x-2y+1\leqq 0$かつ$0\leqq x-y+1$が表す領域の面積は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　$a$を定数とする関数$f(x)=x^3-2x^2+a$の極小値が$0$となるのは，$a=\boxed{\text{エ}}$のときである．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(v)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(2k-1)=1+3+5+\cdots +(2n-1)\leqq 10000$を満たす最大の自然数$n$は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(vi)　$7^{100}$は$\boxed{\text{カ}}$桁の整数である．ただし，${\log }_{10}7=0.845$として計算してよい．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(vii)　生徒数が$75$名のクラスで，アルバイトをしている生徒が$44$名，サークル活動をしている生徒が$39$名いる．アルバイトとサークル活動の両方をしている生徒は，少なくとも$\boxed{\text{キ}}$名以上であり，多くとも$\boxed{\text{ク}}$名以下である．

【２】　実数$a$に対して，$0°\leqq \theta \leqq 180°$である$\theta$の関数

$y={\sin }^2\theta +2a\cos \theta -a$

を考える．以下の問に答えよ．

(ⅰ)　$x=\cos \theta$とおいて，$y$を$x$の関数として表せ．

(ⅱ)　$y$の最大値を$f(a)$とする．$y=f(a)$のグラフの概形を描け．

(ⅲ)　$y$の最小値を$g(a)$とする．$y=g(a)$のグラフの概形を描け．

(ⅳ)　${\sin }^2\theta +2a\cos \theta -a=2$が解をもつための$a$の範囲を求めよ．

【３】　$1$枚のコインを投入すると，$0$枚か$1$枚か$2$枚のコインがそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で戻ってくるゲーム機がある．$n_0$枚のコインを持っていて，それらのコインを$1$枚ずつゲーム機に投入し，戻ってきたコインの合計枚数を$n_1$とする．次に，戻ってきた$n_1$枚のコインを$1$枚ずつゲーム機に投入し，戻ってきたコインの合計枚数を$n_2$とする．このようにして$k$回繰り返して，得られるコインの枚数の変化を

$(n_0\to n_1\to \cdots \to n_k)$

で表すことにする．以下の問に答えよ．

(ⅰ)　$n_0=1$で$k=3$のとき，$n_3=4$となるまでの枚数の変化をすべて書き下せ．

(ⅱ)　$(4\to 4)$であるとき，出てきた枚数を順番に$m_1\text{，}{m}_2\text{，}{m}_3\text{，}{m}_4$枚とすると，$m_1+m_2+m_3+m_4=4$である．このとき，コインの出方$(m_1,m_2,m_3,m_4)$は何通りあるか．

(ⅲ)　$(2\to 2)$である確率，および$(2\to 3\to 4)$である確率を求めよ．

(ⅳ)　(ⅰ)で求めた変化の中で，最も確率の高いものはどれか．