2008　早稲田大学　国際教養学部MathJax

【１】　$4$人の生徒が次のようなゲームを教室で行うとする．各自は一つずつ封筒を持っている．それぞれの封筒の中身は全部同じである．封筒の中には，$\mathrm{A}$と書かれたカードが$1$枚，$\mathrm{B}$と書かれたカードが$1$枚，$\mathrm{C}$と書かれたカードが$1$枚，合計$3$枚の同じ形のカードが入っている．$4$人の生徒が同時に各自の封筒から$1$枚のカードを引く．選ばれた$4$枚のカードの中で，自分が選んだカードに書かれているアルファベットの枚数より，多い枚数の違うアルファベットがある場合，その生徒は退室する．たとえば，$3$人が$\mathrm{A}$と書かれたカードを選び，残りの$1$人が$\mathrm{C}$と書かれたカードを選んだときには，$\mathrm{C}$と書かれたカードを選んだ生徒は退出する．このゲームを$1$回行うとき，

(1)　$1$人だけが退出する確率は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}$

である．

(2)　誰も退出しない確率は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}$

である．

(3)　教室に残っている生徒数の期待値は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}}$

である．

【２】

(1)　ある地点$\mathrm{A}$がある．地点$\mathrm{A}$から西に$akm$の距離に地点$\mathrm{B}$があり，地点$\mathrm{A}$から南に$bkm$の距離に地点$\mathrm{C}$がある．地点$\mathrm{B}$から時速$3km$で東に歩く人と，地点$\mathrm{C}$から時速$7km$で北に向かって歩く人がいる．この$2$人が最も接近する距離を$s$とすると，

$s={\displaystyle \frac{|\boxed{\text{サ}}a-\boxed{\text{シ}}b|}{\sqrt{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}}$

である．

【２】

(2)　次の連立不等式，

$y\geqq |x^2-x|\text{，}y\leqq -|x|+1$

で表される領域の面積$S$は，

$S={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{ソ}}+\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{3}}$

である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}\mathrm{BC}=8\text{，}\mathrm{CA}=5$とする．

(1)　

$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}\text{ナ}}}}$

である．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S$とすると，

$S=\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$

である．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とすると，

$r=\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$

である．

(4)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とすると，

$R={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}}{\boxed{\text{フ}}}}$

である．

(5)　$▵\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とするとき

$\mathrm{IB}=\boxed{\text{ヘ}}\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}$

である．