2008　早稲田大学　スポーツ科学部MathJax

【１】

(1)　$2$つの等差数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$において，式

$a_n+2b_n=8n-1\text{，}{a}_n{b}_n={\displaystyle \frac{15}{2}}{n}^2-{\displaystyle \frac{7}{2}}n-1$

が成り立っている．このとき$a_1=1$ならば$b_1=\boxed{\text{ア}}$であり，数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項は

$a_n=\boxed{\text{イ}}n+\boxed{\text{ウ}}\text{，}{b}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}n+\boxed{\text{オ}}}{2}}$

である．

【１】

(2)　不等式

$6^x-2\cdot 2^x-9\cdot 3^x+18\leqq 0$

を満たす整数$x$のうち，最小のものは$\boxed{\text{カ}}$であり，最大のものは$\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　座標平面上の$2$つの放物線

• $y=-x^2+9$(1)
• $y=-x^2+4ax-4a^2+9$(2)

を考える．ただし$a$は定数で$0<a<3$とする．放物線(1)の頂点を$\mathrm{A}$とし，放物線(2)の頂点を$\mathrm{B}$とする．放物線(1)と$x$軸との交点のうち$x$座標の大きい方を$\mathrm{C}$とし，放物線(2)と$x$軸との交点のうち$x$座標の小さい方を$\mathrm{D}$とする．放物線(1)と放物線(2)および線分$\mathrm{AB}$によって囲まれた図形の面積を$S$とし，放物線(1)と放物線(2)および線分$\mathrm{CD}$によって囲まれた図形の面積を$T$とする．このとき，面積の和$S+T$は

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\sqrt{2}}}$

のとき，最小値

$\boxed{\text{ケ}}+\boxed{\text{コ}}\sqrt{2}$

をとる．

【３】　座標平面上の直線$l$の方程式を$y=\sqrt{3}x$とし，直線$l$と$x$軸の両方に接する半径$1$の円の中心を$\mathrm{C}$とする．このとき$\mathrm{C}$の座標は

$(\sqrt{\boxed{\text{サ}}},\boxed{\text{シ}})$

である．直線$l$と$x$軸と円$C$で囲まれる領域内で，円$C$と点$\mathrm{P}$で接する直線$m$が$x$軸と点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}},0)$で交わるとする．線分$\mathrm{AP}$の長さは

$\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．直線$l$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし，$\angle \mathrm{ACP}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{BCP}=\beta$とおく．このとき

$\tan (\alpha +\beta )=\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$

である．線分$\mathrm{BP}$および$\mathrm{AB}$の長さは

$\mathrm{BP}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{3}}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．ただし，$\boxed{\text{タ}}$と$\boxed{\text{チ}}$は正の整数である．

【４】　空間内の$3$点を$\mathrm{A}(4,-2,0)\text{，}\mathrm{B}(10,1,-3)\text{，}\mathrm{C}(9,-4,2)$とする．

(a)　$\alpha =\angle \mathrm{BAC}$とするとき$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}}$である．

(b)　原点$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面に下ろした垂線を$\mathrm{OP}$とするとき，点$\mathrm{P}$の座標は

$(\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}},\boxed{\text{ナ}})$

である．

(c)　三角錐$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{ニ}}$である．

【５】　座標平面上で，半径$1$の円が放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$と第$1$象限の点$\mathrm{P}(a,{\displaystyle \frac{a^2}{2}})$で接している．点$\mathrm{P}$における放物線の接線が，原点と円の中心を通る直線と平行になるとき

$a^2=\boxed{\text{ヌ}}+\boxed{\text{ネ}}\sqrt{2}$

である．また，円の中心の座標は

$(\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}+\sqrt{2}},\boxed{\text{ヒ}}\sqrt{2})$

である．