2008 早稲田大学 理工系学部MathJax

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2008 早稲田大学 基幹理工学部,創造理工学部,先進理工学部

2月16日実施

易□ 並□ 難□

【1】  a を正の定数とする. xy- 座標平面において,曲線 x +y =a と,直線 x +y=a とで囲まれた部分を D とおく.以下の問に答えよ.

(1)  D の概形を描き,その面積を求めよ.

(2) 直線 x+ y=a を軸として, D 1 回転してできる図形の体積を求めよ.

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【2】 自然数 m n に対して f (m, n)

f( m,n )= 12 { (m+ n-1) 2+ (m-n +1)}

で定める.以下の問に答えよ.

(1)  f( m,n) =100 をみたす m n 1 組求めよ.

(2)  a b c d は整数で,等式 a 2+b =c2 +d をみたすとする.不等式 - a<b a - c<d c が成り立つならば, a=c b= d となることを示せ.

(3) 任意の自然数 k に対し, f(m ,n)= k をみたす m n がただ 1 組だけ存在することを示せ.

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【3】  f( x) はすべての実数 x において微分可能な関数で,関係式

f( 2x )=( ex +1) f (x)

をみたしているとする.以下の問に答えよ.

(1)  f(0 )=0 を示せ.

(2)  x0 に対して

f( x) ex -1 = f ( x2 ) e x2 -1

が成り立つことを示せ.

(3) 微分の定義を用いて f (0) =lim h 0 f (h) eh -1 を示せ.

(4)  f(x )=( ex- 1) f (0 ) が成り立つことを示せ.

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【4】  n 個の球と n 個の箱がある.各球を無作為にどれかの箱に入れる.すなわち各球を独立に確率 1n でどれか 1 つの箱に入れるものとする. n 3 のとき 2 箱のみが空となる確率を p n とする.以下の問に答えよ.

(1)  p3 p4 を求めよ.

(2)  n4 とする. 2 箱のみが空で, 1 箱に 3 個の球が入り,その他の (n -3) 箱のそれぞれに 1 個の球が入る確率 q n を求めよ.

(3)  n5 に対し p n を求めよ.

(4) (2)で求めた q n について, limn qnp n を求めよ.

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【5】  xyz- 座標空間において,原点を中心とする半径 1 の球面 S 上に点 N (0 ,0, 1) をとる.また 0 <θ< π をみたす θ に対し,次の 2 つの条件

をみたす S 上の動点 P Q について,線分 PQ が通過してできる立体図形 T を考える.以下の問に答えよ.

(1) 点 P と点 Q z 座標は等しいことを示せ.

(2) 点 P が平面 z= h 上にあるとき,線分 PQ の長さを θ h で表せ.

(3)  T を平面 z= h で切ったときの断面の概形を描き,その面積を θ h で表せ.

(4)  h のとりうる値の範囲に注意して, T の体積 V θ で表し, θ を動かしたときの V の最大値を求めよ.

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