2008　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　$n$を自然数とする．$219!$は$2^n$で割り切れるが，$2^{n+1}$では割り切れないとすると，$n=\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　媒介変数$\theta$を用いて

$x=\cos \theta -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\text{，}y={\displaystyle \frac{2\cos \theta }{\sin \theta }}+\sin \theta -1({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

によって表される曲線と，$x$軸，$y$軸で囲まれる図形の面積は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　座標平面上で${\mathrm{A}}_0(0,1)\text{，}\mathrm{O}(0,0)\text{，}{\mathrm{P}}_0(\sqrt{3},0)$として三角形${\mathrm{A}}_0\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0$を考える．これに，$▵{\mathrm{A}}_0\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0$の各辺の長さを${\displaystyle \frac{2}{3}}$倍した$▵{\mathrm{A}}_1{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$を右の図のようにおく．同様に$n\geqq 1$についても，$▵{\mathrm{A}}_n{\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$の各辺の長さを${\displaystyle \frac{2}{3}}$倍して，直角を${\mathrm{P}}_n$に合わせて$▵{\mathrm{A}}_{n+1}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$をおいていく．${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$として，$a=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\text{，}b=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$とすると，$(a,b)=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　座標平面上の$6$個の点$(1,0)\text{，}(2,0)\text{，}(3,0)\text{，}(0,1)\text{，}(0,2)\text{，}(0,3)$を$2$つずつ$3$つの組に分けて，それぞれの組における$2$点の距離の和を考える．このような和の最大値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　任意の実数$x$に対して，不等式

$\cos x-1+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\geqq 0$

が成り立つことを示せ．

(2)　$n$を自然数とする．任意の実数$x$に対して，不等式

${(-1)}^{n+1}(\cos x-{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k{x}^{2k}}{(2k)!}})\geqq 0$

が成り立つことを示せ．ただし，$0!=0^0=1$とする．

【３】　$a$を正の実数とする．座標平面において，点$\mathrm{P}(a,a^2)$を通り，放物線$y=x^2$上のある点における法線となるような直線の本数を$n$と表す．

(1)　本数$n$を求めよ．

(2)　$n=2$となるように$a$を定め，点$\mathrm{P}$を通る$2$本の法線のうち，傾きが大きい直線を$l$と表す．直線$l$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　座標平面上で次のような変換$f$を考える．

$f:$原点を中心として正の向きに角$\theta$だけ回転し，$y$軸について対称移動をし，$y$軸の正方向に$1$だけ平行移動する．

　点${\mathrm{P}}_0(x_0,y_0)$に変換$f$を$n$回くり返し行って得られる点を${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$と表す．次の問いに答えよ．

(1)　$x_n\text{，}{y}_n$を$x_0\text{，}{y}_0$を用いて表せ．

(2)　${\mathrm{P}}_0\ne {\mathrm{P}}_2$ならば，点の列${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_4\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{2n}\text{，}\cdots$はある直線上に等しい感覚で並ぶことを示せ．

(3)　${\mathrm{P}}_0({\displaystyle \frac{1}{2}},1)$とする．すべての点${\mathrm{P}}_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$が$1$つの直線上に並ぶような$\theta$の値を求めよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq 2\theta$とする．