2008　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$t$を定数とする．$x$の不等式$x^2-(1+t)x+t>0$を解け．

(2)　$0\leqq t\leqq 1$のとき，$f(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-(1+t)x+t|dx$を求めよ．

(3)　$0\leqq t\leqq 1$のとき，$f(t)$の最大値，最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．

【２】　座標平面上に点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}(2,2a)\text{，}\mathrm{C}(2,b)$があり，$\angle \mathrm{COA}=2\angle \mathrm{BOA}$である．次の問に答えよ．ただし$0<a<1\text{，}b>0$とする．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．

(3)　$p>0$とする．$x$軸上の点$\mathrm{P}(p,0)$で$x$軸と接し，かつ直線$\mathrm{OC}$と接する円のうち，第$1$象限に中心をもつ円の方程式を求めよ．

(4)　(3)の円において，$a={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}p=4$のとき，この円と直線$\mathrm{OC}$の接点の座標を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は，次の漸化式を満たしている．

• $a_1=0$
• $a_2=1$
• $a_{2n+1}=2a_n$
• $a_{2n+2}=a_n+a_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　次の問に答えよ．

(1)　$a_7\text{，}{a}_8$の値を求めよ．

(2)　$k$を自然数とするとき，

(ⅰ)　$a_{2^k-1}$を$k$の式で表せ．

(ⅱ)　$a_{2^k}$を$k$の式で表せ．

(3)　ここで，次の漸化式を満たす数列$\left\{b_k\right\}$を考える．

• $b_1=2$
• $b_{k+1}=2b_k+1\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　このとき，$a_{b_{k+1}}=\boxed{\text{①}}$となるから，$a_{b_k}=\boxed{\text{②}}$である．

(ⅰ)　$\text{①}$にあてはまる式を$a_{b_k}$の式で表せ．

(ⅱ)　$\text{②}$にあてはまる$k$の式を求めよ．

(ⅲ)　$b_k$を$k$の式で表せ．

(4)　$k$を自然数とするとき，$a_{3\cdot 2^{k-1}}$を$k$の式で表せ．