2008　早稲田大学　教育学部数学科自己推薦MathJax

【１】(1)　$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-ax+1}{x^2+x+1}}$の極大値が$b$で，極小値が${\displaystyle \frac{1}{b}}$であるとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　このとき，$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)$を求めて，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

【２】　不等式

$2008!<{\left({\displaystyle \frac{2009}{2}}\right)}^{2008}$

が成り立つことを証明せよ．

【３】　楕円

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>b>0\text{）}$

と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{A}(a,0)$とし，楕円上の$1$点$\mathrm{P}(p,q)\text{（}p\text{，}q>0\text{）}$を選ぶ．

　次に（第$1$象限における）楕円の弧$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{PO}$と線分$\mathrm{OA}$で囲まれた図形を$S$とし，線分$\mathrm{PA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

　このとき，直線$\mathrm{OM}$は図形$S$の面積を等分していることを示せ．

【４】　円周$:x^2+y^2=1$上の点と，曲線$:(y-{\displaystyle \frac{15}{2}})x=1\text{（}x>0\text{）}$上の点との最短距離を求めよ．

【５】　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}})}$